Вопрос 1

Теорема 4.2: если сумма внутренних односторонних углов равна 180 или внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство: Пусть прямые а иbобразуют с секущей АВ равные внутренние накрест лежащие углы. Допустим, что прямыеа иbне параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке С.

Секущая АВ разбивает плоскость на 2 полуплоскости. Построим треугольник ВАС₁, равный АВС, в другой полплоскости. Т. К. Соответствующие углы треугольников АВС и ВАС с вершинами А и В равны, то они совпадают с внутренним накрест лежащими углами. Значит прямая АС₁, совпадает с а, а прямая ВС₁ совпадает с b. А это невозможно, значит прямыепараллельны.

Вопрос 2

Для того, чтобы найти гипотенузу, надо использовать свойство синуса (косинуса), если угол противолежащий (прилежащий).

Потом теорема Пифагора.

Билет №5 1. Теорема об углах, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей. 2. Вывод формул площади треугольника:

Вопрос 1

Теорема 4.3-обратная теореме 4.2. - Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна

Доказательство:

Пусть а и b – параллельные прямые, и с – прямая, пересекающая их в точках А и В. Проведем через точку А прямую а₁ так, чтобы внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей с прямыми а₁ и b, были равны.

По признаку параллельности прямых прямые а₁ и b параллельны. А так как через точку А проходит только одна прямая, параллельная прямой b, то прямая а совпадет с прямой а₁.

Значит, внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей с параллельными прямыми а и b, равны.

Теорема доказана.

Из свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, следует, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна другой.

Вопрос 2

Пусть АВС данный треугольник. Дополним этот треугольник до параллелограмма АВСD, как указано на рисунке. Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников АВС и CDA. Так как они равны, то площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника АВС. Высота параллелограмма, соответствующая стороне АВ, равна высоте треугольника АВС, проведенной к стороне АВ. Отсюда следует, что площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней сторону:

S = 0,5 * a * h.

Докажем теперь, что площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на sin угла между ними.

Проведем в треугольнике АВС высоту BD. Имеем

S = 0,5 * AC * BD

Из прямоугольного треугольника ABDBD = AB * sin (alpha). Если угол alpha острый и BD=AB*sin(180-alpha), если угол alpha тупой. В любом случае BD = AB * sin (alpha), следовательно, площадь треугольника S = 0,5 * AC * AB * sinA, что и требовалось доказать.

Выведем формулу Герона для площади треугольника:

a, b, с – длины сторон треугольника, р – полупериметр

Имеем:

Из теоремы косинусов следует:

Значит:

Отсюда следует, что:

Таким образом, получается, что:

Формулы совпадают.

Билет №6 1. Внешний угол треугольника(определение). Теорема о внешнем угле треугольника. Сумма внешних углов n-угольника. 2. Нахождение значений синуса, косинуса и тангенса угла 45°.