Вопрос 1
Теорема. В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший
угол; и наоборот, 2) против большего угла лежит большая сторона.
Сначала докажем, что против большей стороны лежит больший угол.
Дано: D АВС, АВ > ВС.
Доказать: ÐС > ÐА.
Доказательство
На стороне АB отложим отрезок BD = BC. Так как ВС < АВ, то и BD < AB,
поэтому точка D лежит между точками А и В. Следовательно, Ð1 является ча-
стью Ð С D АВС. Значит, ÐС > Ð1.
Так как Ð2 – внешний угол D АDС при вершине D, то Ð2> ÐА, потому что
внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
Так как ВС = ВD по построению, то D ВСD равнобедренный, поэтому Ð1 = Ð2
как углы при основании равнобедренного D ВСD.
Получили. что, ÐС > Ð1, Ð1 = Ð2, Ð2> ÐА, значит, ÐС > ÐА.
Итак, в треугольнике: против большей стороны лежит больший угол.
Теперь докажем, что против большего угла лежит большая сторона.
Дано: D АВС, ÐС > ÐА.
Доказать: АВ > ВС.
Доказательство (методом от противного)
1) Предположим, что АВ > ВС – неверно. Тогда либо АВ = ВС, либо АВ <
ВС.
2) Если АВ = ВС, то D АВС – равнобедренный и, значит, ÐС = ÐА.
Если АВ < ВС, то ÐС< ÐА по доказанному выше.
Получили, чтоÐС = ÐА или ÐС < ÐА. И то, и другое противоречит усло-
вию теоремы, что ÐС> ÐА.
3) Получили противоречие с условием теоремы. Значит предположение, что
АВ > ВС – неверно было неверным, значит АВ > ВС.
Итак, в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Ч.т.д.
Доказанную теорему можно сформулировать следующим образом: в тре-
угольнике против меньшей стороны лежит меньший угол; и наоборот, против
меньшего угла лежит меньшая сторона.
Следствия
1) В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
2) Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (при-
знак равнобедренного треугольника).
Вопрос 2
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. Теорема. Сумма смежных углов равна 180°. Из теоремы о сумме смежных углов следуют свойства: - угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол; - угол, смежный с острым углом, тупой; - угол, смежный с тупым углом, острый. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Теорема. Вертикальные углы равны.
Билет №24 1. Вывод уравнения прямой и уравнения окружности.
2. Описанный четырехугольник.
Вопрос 1
Уравнение вида ax + by + c = 0 при условии, что a и b одновременно не равны нулю, задает прямую в плоскости Oxy, и наоборот, уравнение произвольной прямой может быть записано в указанном виде.
Пусть l – произвольная прямая на плоскости Oxy. Проведем какую-нибудь прямую, перпендикулярную прямой l, и отложим на ней от точки пересечения C с прямой lравные отрезки CA1 и CA2. Пусть a1 и b1 – координаты точки A1, и a2 и b2 – координаты точки A2. Как известно, любая точка A (x; y) прямой l равноудалена от точек A1 и A2. Поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению (x – a1)2 + (y – b1)2 = (x – a2)2 + (y – b2)2. Верно и обратное: если координаты x и y какой-либо точки удовлетворяют данному уравнению, то эта точка равноудалена от точек A1 и A2, а значит, принадлежит прямой l. Таким образом, уравнение является уравнением прямой l. Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:
Обозначая 2(a2 – a1) = a; 2(b2 – b1) = b; a12 + b12 – a22 – b22 = c, имеем ax + by + c = 0. Теорема доказана. Замечание. Если a = b = 0, то уравнение ax + by + c = 0 имеет вид c = 0. При этом любая точка плоскости удовлетворяет исходному уравнению, а если a = b = 0, а c ≠ 0, то ни одна точка плоскости Oxy не удовлетворяет данному уравнению. Следовательно, исходное уравнение есть уравнение прямой тогда и только тогда, когда a2 + b2 > 0. |
Пусть b ≠ 0.
Тогда уравнение прямой можно переписать
в виде y = kx + d,
где 
Число k называется угловым коэффициентом прямой и равно тангенсу угла между положительной полуосью абсцисс и лучом прямой, лежащей в одной с положительной полуосью ординат полуплоскости относительно оси абсцисс.
Рассмотрим прямую, определяемую уравнением ax + by + c = 0.
а) a = 0, b ≠ 0.
Уравнение определяет прямую, параллельную
оси абсцисс и пересекающую ось ординат
в точке с координатой 
б) b = 0, a ≠ 0.
Уравнение определяет прямую, параллельную
оси ординат и пересекающую ось абсцисс
в точке с координатой 
в) c = 0. Уравнение определяет прямую, проходящую через начало координат.
Уравнение окружности ω (A; R) имеет вид (x – a)2 + (y – b)2 = R2, где a и b – координаты центра A окружности ω (A; R) .
Пусть задана окружность ω (A; R) на плоскости Oxy, где точка A, центр окружности – имеет координаты a и b. По определению окружности для любой точки B (x; y), лежащей на окружности ω (A; R), верно AB = R. Но в соответствии с теоремой 10.2 AB2 = (x – a)2 + (y – b)2. Таким образом, координаты x и y любой точки окружности ω (A; R)удовлетворяют уравнению (x – a)2 + (y – b)2 = R2. Обратно: любая точка B (x; y), координаты которой удовлетворяют уравнению, принадлежит окружности, так как расстояние от нее до точки A (a; b) равно R. Отсюда по определению данное уравнение – уравнение окружности ω (A; R). |