Билет №1 1. Свойства равнобедренного треугольника, теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию. 2. Зависимость между стороной правильного многоугольника и радиусом описанной и вписанной окружности (вывод формулы). Установление этой зависимости для квадрата, правильного треугольника, шестиугольника.

Вопрос 1.

1-ое Свойство равнобедренного треугольника – углы при основании равны.

2-ое Свойство – медиана, опущенная к основанию является биссектрисой и высотой (Теорема 3.5)

Пусть АВС данный равнобедренный треугольник, АВ - его основание, а СD – медиана, опущенная к нему.

Треугольники CAD и CBD равны по первому признаку (сторона, угол, сторона). Из равенства треугольников следует равенство углов. Угол ACD равен углу BCD, и угол ADC равен углу BDC. Так как углы ACD и BCD равны, то CD – Биссектриса. Так как углы ADC и BDCсмежны и равны, то они прямые, значит CD – Высота.

Вопрос 2

Квадрат (правильный четырёхугольник):

Равносторонний (правильный) треугольник:

Правильный шестиугольник:

Билет №2 1. Признаки равенства треугольников (доказательство всех признаков). 2. Деление отрезка на n равных частей (с обоснованием).

Вопрос 1

1-ый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между нимиПусть у треугольников АВС и А₁В₁С₁ угол А равен углу А₁, АВ равно А₁В_1, АС равно А₁С₁, докажем, что треугольники равны.

Пусть А₁В₂С₂ – треугольник, равный АВС, с вершины В₂ на луче А₁В₁ и вершины С₂ в той же полуплоскости относительно прямой А₁В₁, где лежит вершина С₁.

Так как А₁В₁ равно А₁В₂, то вершина В₂ совпадет с В_1. Так как угол В₁А₁С₁ равен углу В₂А₁С_2, то луч А₁С₂ совпадет с А₁С₁. Так как А₁С₁ равен А₁С₂, то С₂ совпадет с С_1. Значит, треугольникА₁В₁С₁ совпадает стреугольником А₁В₂С₂, значит равен треугольнику АВС.

2-ой признак равенства треугольников: по стороне и прилежим к ней углам Пусть АВС и А₁В₁С_{1 –} два треугольника, у которых АВ равно А₁В_1, угол А равен углу А₁, и угол В равен углу В₁. Докажем, что они равны.

Пусть А₁В₂С₂ – треугольник, равный АВС, с вершины В₂ на луче А₁В₁ и вершины С₂ в той же полуплоскости относительно прямой А₁В₁, где лежит вершина С₁.

Так как А₁В₂ равно А₁В₁, то вершина В₂ совпадет с В_1. Так как угол В₁А₁С₂ равен углу В₁А₁С_1, и угол А1В1С2 равен углу А1В1С1, то луч А₁С₂ совпадет с А₁С₁, а В₁С₂ совпадет с В₁С₁. Отсюда следует, что вершина С₂ совпадет с С_1. Значит, треугольникА₁В₁С₁ совпадает стреугольником А₁В₂С₂, значит, равен треугольнику АВС.

3-ий признак равенства треугольников: по трем сторонам

ПустьАВС и А₁В₁С_{1 –} два треугольника, у которых АВ равно А₁В_1, АС равно А₁С₁, и ВС равно В₁С₁. Докажем, что они равны.

Допустим, треугольники не равны. Тогда у них угол А не равен углу А₁, угол В не равен углу В_1, и угол С не равен углу С₁. Иначе они были бы равны, по перовому признаку.

Пусть А₁В₁С₂ – треугольник, равный треугольнику АВС, у которого вершина С₂ лежит в одной полуплоскости с вершиной С₁ относительно прямой А₁В₁.

Пусть D – середина отрезка С₁С₂. Треугольники А₁С₁С₂ и В₁С₁С₂ – равнобедренные с общим основанием С₁С₂. Поэтому их медианы А₁D и В₁D – являются высотами, значит прямые А₁D и В₁D – перпендикулярны прямой С₁С_2. Прямые А₁D и В₁D не совпадают, так как точки А_1, В₁, D не лежат на одной прямой, но через точку D прямой С₁С₂ можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.