54. Доверительный интервал для оценки мо при нЕизвестной дисперсии

2)Доверительный интервал для оценки МО при неизвестной дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности. Пусть – выборочный вектор n–наблюдений СВ . В качестве оценки для m возьмем . Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна, то по выборке определяем статистику . Доверительный интервал для m в этом случае находится с помощью статистики .

В литературе по статистике показано, что Y имеет распределение Стьюдента с n–1 степенью свободы .

По заданной доверительной вероятности , используя таблицы распределения Стьюдента с n–1 степенью свободы, находим .

.

.

.

56. Проверка статистических гипотез

Пусть Х – наблюдаемая СВ. Она может быть дискретной, а может и непрерывной.

Опр. Статистической гипотезой Н называется предположение относительно параметров или вида распределения СВ Х. Гипотеза Н называется простой, если она однозначно определяет распределение СВ Х, иначе Н называется сложной.

Если распределение СВ Х известно и по выборке наблюдений необходимо проверить предположение о значении параметров этого распределения, то такие гипотезы называются параметрическими. А гипотезы о виде распределения – непараметрические.

Проверяемая гипотеза называется нулевой гипотезой и обозначается Н₀. Обязательно на ряду с Н₀ рассматривают одну из альтернативных гипотез Н₁.

При этом имеются различные ситуации для Н₁.

; ; ; .

Выбор альтернативной гипотезы Н₁ определяется конкретной формулировкой задачи.

Опр.Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу Н₀, называется критерием К. Так как решение принимается на основе выборки наблюдений СВ Х, то необходимо выбрать подходящую статистику, которую мы будем называть статистикой Z критерия К.Замечание. При проверке простой параметрической гипотезы Н₀: =₀ в качестве статистики критерия выбирают ту же статистику, что и для оценки параметра , т.е. .Основной принцип при проверке статистической гипотезы: Маловероятные события считаются невозможными, а события, имеющие большую вероятность, считаются достоверными. Реализация этого принципа на практике. Перед анализом выборки фиксируется некоторая малая вероятность , называемая уровнем значимости. Пусть V множества значений статистики Z, V_K – подмножество множества значений статистики Z (V_K  V). Это такое подмножество, что при условии истинности гипотезы Н₀, имеем вероятность того, что P{ZV_kH₀}=. Обозначим через z_в – выборочное значение статистики Z, которое вычитается по конкретной выборке. Критерии К формулируется следующим образом.

Отклонить гипотезу Н₀, если z_вV_k. Отклонить гипотезу Н₀, если z_вV \ V_k. Уровень значимости  определяет размер критической области, а ее положение зависит от альтернативной гипотезы Н₁.

Z_1––квантиль распределения Z при условии, что верна гипотеза Н₀.

Z_– квантиль распределения Z при условии, что верна гипотеза Н₀.

Проверку параметрической гипотезы при помощи критерия значимости можно разбить на следующие этапы:1)сформулировать Н₀ и Н₁;2)назначить ;3)выбрать статистику Z для проверки Н₀;4)определить выборочное распределение Z при условии, что верна Н₀;5)определить V_K (она зависит от Н₁);6)получить выборку и вычислить z_b ;7)принять статистическое решение: z_вV_k – отклонить Н₀;

z_вV \V_k – принять Н₀. Статистическое решение может быть ошибочным. При этом различают ошибки I-го и II-го родов.Опр. Ошибкой первого рода называется ошибка, состоящая в том, что гипотеза Н₀ отклоняется, когда Н₀ – верна. Вероятность P{ZV_kH₀}=..ОпрОшибкой второго рода называется ошибка, состоящая в том, что принимается гипотеза Н₀, но в действительности верна альтернативная гипотеза Н₁. Вероятность ошибки второго рода при условии, что гипотеза Н₁ – простая, P{ZV\V_kH₁}=.Проверка статистических гипотез и доверительных интервалов.Проверка гипотез с использованием критерия значимости может быть проведена на основе доверительных интервалов. При этом одностороннему критерию значимости будет соответствовать односторонний доверительный интервал, а двустороннему критерию значимости будет соответствовать, двусторонний доверительный интервал. Гипотеза Н₀ – принимается, если значение ₀ накрывается доверительным интервалом, иначе отклоняется.

2.Вероятностное пространство.Вероятность,ее свойства.Теорема сложения.Тройка (, A, P), где  – это пространство элементарных событий;A – -алгебра подмножеств , называемых событиями;P – числовая функция, определенная на событиях и называемая вероятностью.P называется вероятностным пространством, если выполнены следующие аксиомы:1)P(A)  0,AA.2)P() = 1 (нормированность P).3)P(A+B)=P(A) + P(B), если AB= (аддитивность).4)Для любой убывающей последовательности A₁ A₂ … A_n…событий из A такой, что , Имеет место равенство (непрерывность P).Замечания: Аксиомы 3, 4 можно заменить одной аксиомой -адди-тивности: 3*. Если события A_n в последовательности A₁, A₂, … попарно несовместны, то

Из этих аксиом вытекают Свойства вероятностей:

1)Если A  B, то вероятность P(B–A) = P(B) – P(A).

Доказательство:

Разобьем событие B в сумму несовместных событий

B=A+(B-A), A(B-A)=,

P(B) = P(A+(B-A))=P(A)+P(B-A) (по аксиоме 3)

P(B-A)=P(B) - P(A)  .

2)Если A  B, то P(A)  P(B)Доказательство:

Доказательство следует из 1 свойства и аксиомы 1.

P(A) + P(B-A) = P(B)

P(B-A)  0, следовательно P(A)  P(B) .

3)A  A  0  P(A)  1 Доказательство:

A    P(A)  P(), P() = 1(по аксиоме 2)

P(A)  0, A  A(по аксиоме 1) .

4)P(Ā) = 1 - P(A) Доказательство: A+ Ā = , A Ā = 

Тогда по аксиоме 3 и аксиоме 2 получаем

P(A+ Ā) = P(), P(A) + P(Ā) = P(), P(A) +P(Ā) = 1  P(Ā) = 1 - P(A) .

5) P() = 0Доказательство: +  =  Тогда по аксиоме 3 и 2 получаем, P() + P() = P() 

P() + 1 = 1, P() = 0 .

6)Теорема сложения A, B  A : P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)

Доказательство:

A + B = A + (B - AB), A(B - AB) = 

P(A+B) = P(A) + P(B - AB), но AB  B следовательно по первому свойству (вероятность от разности равна разности вероятностей).

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) .

4.Основные правила комбиноторики:«правило суммы» и «правило произведения» Комбинаторика – это наука о том, сколько различных комбинаций удовлетворяющих условиям можно составить на элементах конечного множества. Комбинаторные схемы: Правило суммы: X – конечное множество

X=n – количество элементов.

Объект x из X может быть выбран n-способами. Пусть X₁,…,X_k попарно непересекающиеся множества, то есть X_iX_j=, ij тогда очевидно выполняется равенство.

– правило суммы

Правило произведения:Если объект x может быть выбран m-способами и после каждого из таких выборов объект y может быть выбран n-способами. Тогда выбор упорядоченной пары (x,y) может быть осуществлен – mn способами. Доказательство: Воспользуемся правилом суммы. {a₁,…,a_m}– множество элементов, из которых выбирается объект x.i=1,..,m,рассмотрим множество X_i={(a_i ,y)}, тогда первая компонента совпадает с a_i. Множества X_i попарно не пересекаются. X_i=n. Множество пар X_i-это объед.

В общем случае правило произведения формируется следующим образом: Если объект x₁ может быть выбран n₁ – способами, после чего объект x₂ может быть выбран n₂ способами и i, где i=1,..,m-1

(2 i m-1) после выбора объектов x₁,…,x_i объект x_i+1 может быть выбран n_i+1-способами, то выбор упорядоченной последовательности x₁,…,x_m может быть осуществлен n₁,…,n_m способами. Доказательство проводится методом математической индукции.

10.Формулы Байеса Теорема.Если A₁,…,A_n – разбиение  и все , тогда имеет место следующая формула:

Доказательство: По теореме умножения:

Формулы Байеса можно интерпретировать следующим образом: назовём A_i – гипотезой, а B – результат некоторого эксперимента, a P(A_i) – априорные вероятности, а условные вероятности –апостериорные вероятности (послеопытные вероятности).Формулы Байеса позволяют по априорным и условным вероятностям вычислить апостериорные вероятности гипотез. Пример:Детали, изготовленные цехом завода, попадают к одному из двух контролёров для проверки на стандартность. Вероятность того, что деталь попадёт к первому контролёру – 0,6; ко второму контролёру, соответственно, – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной, для первого контролёра – 0,9; для второго – 0,98. Годная деталь была признана стандартной. Найти вероятность того, что её проверил первый контролёр.

Решение. A₁={деталь проверил первый} A₂={деталь проверил второй}

A₁A₂=, A₁+A₂= B={годная деталь признана стандартной}

11. Независимость событий Если события A и B таковы, что P(B)>0 P(AB) Определение. Событие A не зависит от события B, если P(AB) = P(A) Если потребовать условия P(A)>0, то

Понятие того, что одно событие зависит от другого, симметрично. Замечание Из теоремы умножения: P(AB)=P(B) P(AB) P(AB)=P(B) P(A) Это приводит к определению. ОпределениеСобытия A и B называются независимыми, если вероятность произведения событий равна произведению вероятностей событий (P(AB)=P(A)P(B)). Если событие A не зависит от события B, то они являются просто независимыми. Если P(AB)=P(A)P(B) не выполняется, то события являются зависимыми. P(AB)=P(A)P(B)–теоретико-вероятностная (статистическая) независимость; её следует отличать от причинной независимости реальных явлений. Причинная независимость реальных явлений не устанавливается с помощью этого равенства, а постулируется на основе других внешних соображений. Определение (Независимость событий в совокупности) События A₁,…,A_n называются независимыми, если  индексов 1i₁< i₂<…< i_mn, где 2mn, то выполняется:

В противном случае — события зависимы. Замечание.Из определения независимости событий в совокупности следует, что события любого подмножества множества A₁,…,A_n будут независимы в совокупности. Пример. Имеются 4 числа: 2, 3, 5, 30. Наудачу выбирается одно число. Вероятность этого события – 0,25. A_k={выбранное число делится на k}.

Решение.P(A₂)=1/2; P(A₃)=1/2 ; P(A₅)=1/2; P(A₃₀)=1/2

P(A₂A₃)=1/4;P(A₂A₅)=1/4;P(A₃A₅)=1/4;P(A₂A₃A₅)=1/4

P(A₂A₃)=P(A₂)P(A₃)

P(A₂A₅)=P(A₂)P(A₅) - попарно независимы

P(A₃A₅)=P(A₃)P(A₅)

P(A₂)P(A₃) P(A₅)=0.5*0.5*0.5=1/8

P(A₂A₃ A₅)=1/4 (в совокупности зависимы).

Совокупная независимость более сильное свойство, нежели попарная независимость.

Теорема.Если события A₁,…,A_n являются независимыми, индексы i₁,…,i_n , j₁,…,j_k – все различны, вероятность , тогда: