
- •8.Условные вероятности; теорема умножения
- •16.Моменты n-го порядка. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.
- •21. Простейший Пуассоновский поток
- •28.Оценка отклонения теоретического распределения от нормального; асимметрия и эксцесс.
- •30.Дискретные двумерные случайные величины
- •36. Коэффициент корреляции. Связь между…
- •54. Доверительный интервал для оценки мо при нЕизвестной дисперсии
- •56. Проверка статистических гипотез
- •14. Непрерывная св. Плотность распределения.
- •17.Мода, медиана и квантили
- •22.Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа.
- •18.Целочисленные св и их производящие функции
- •23 Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа
- •24.Геометрическое распределение
- •25. Равномерное распределение
- •29. Совместная функция распределения
- •41.Распределение 2. (“хи-квадрат”).
- •52. Интервальные оценки. Доверительный интервал. Доверительная вероятность.
- •53. Доверительный интервал для оценки мо при известной дисперсии
- •57. Критерий и его применение.
- •15. Математическое ожидание
- •19.Биномиальное распределение
- •20.Распределение Пуассона.
- •26. Показательное (экспоненциальное) распределение.
- •31.Непрерывные двумерные св
- •32.Зависимые и независимые св,
- •35.Числовые характеристики системы двух св: Моменты начальные и центральные, ковариация.
- •39. Закон распределения функции одного случайного аргумента.
- •45. Теореме Чебышева. Теорема Бернулли. Цпт.
- •55.Доверительный интервал для оценки дисперсии при неизвестном мо.
- •58. Марковская зависимость испытаний.
- •59. Переходные вероятности.
55.Доверительный интервал для оценки дисперсии при неизвестном мо.
3)
Доверительный интервал для оценки
дисперсии при неизвестном МО нормально
распределенной генеральной совокупности.
Пусть
– выборочный вектор n–наблюдений
СВ
.
В этом случае в качестве оценки дисперсии
используют
.
В
литературе по математической статистике
доказано, что
имеет распределение
.
По
таблице распределения
определяются квантили
и
.
.
.
58. Марковская зависимость испытаний.
Определение цепи Маркова.
Непосредственным обобщением схемы независимых испытаний является схема цепей Маркова.
Пусть производится последовательность испытаний, в каждом из которых может осуществляться одно и только одно из k несовместных событий.
верхние индексы обозначают номер испытания.
Опр.
Последовательность испытаний образует
простую цепь Маркова, если условная
вероятность в
испытании, где S=1,2,3,K
осуществится событию
,
зависит только от того, какое событие
произошло при S-ом
испытании и не изменяется от добавочных
сведений о том, какие события происходили
в более ранних испытаниях. Замечание.
Часто при изложении теории цепей Маркова
придерживаются иной терминологии и
говорят о некоторой физической системе
S,
которая в каждый момент времени может
находиться в одном из состояний A1
,A2
,K,Ak
и меняет
свое состояние только в моменты t1
,t2
,K,tn
,K
. Для цепей Маркова вероятность перейти
в какое-либо состояние
,
в момент времени tS
зависит только от самого
и того, в каком состоянии система
находилась в момент времени
и не изменяется оттого, что становятся
известными ее состояния в более ранние
моменты времени.
Пример
1. В модели
Бора атома водорода, электрон может
находиться на одной из допустимых орбит.
Обозначим, через
– электрон находится на i
орбите и предположим, что изменение
состояние атома может наступать только
в моменты
(в действительности эти моменты
представляют собой СВ), то тогда
вероятности перехода с i
орбиты на j
орбиту в
момент времени tS
зависит только от i
и j
и не зависит от того на каких орбитах
находился электрон в «прошлом».
Разность (i–j) зависит от количества энергии, на которую изменился заряд атома в момент времени tS.
Это пример цепи Маркова с бесконечным числом состояний.
59. Переходные вероятности.
Матрица
перехода.
Далее будем рассматривать только
однородные цепи Маркова, в которых
условная вероятность появления события
при условии, что в предыдущем S-ом
испытании осуществилось
не зависит от номера испытания.
Назовем
эту вероятность – вероятностью перехода
и обозначим
.
Полную вероятностную картину возможных изменений, осуществляющихся при переходе от одного испытания к следующему можно задать с помощью матрицы
– матрица
перехода
Замечание.
Очевидно, что
.
Из того, что при переходе из состояния
система обязательно переходит в одно из состояний , следовательно, в матрице перехода
.
Опр. Любая квадратная матрица, элементы которой удовлетворяют следующим требованиям:
, называется стохастической.
Одной
из главных задач в теории цепей Маркова
является задача определения вероятности
перехода
.
Рассмотрим
какое-нибудь промежуточное испытание
с номером (S+m).
В этом испытании осуществится какое-либо
одно из возможных событий
,
тогда вероятность перехода
,
а вероятность перехода
.
По формуле полной вероятности получим
(*)
Обозначим через
Согласно
формуле (*) получаем, что
.
В частности, когда n = 2, получаем
n = 3
Отметим частный случай формулы (*), когда m = 1
.
Пример 2 Процесс блуждания с отражением.
Пусть
частица, находящаяся на прямой, движется
по этой прямой под влиянием случайных
толчков, происходящих в моменты времени
Частица может находиться в точках с
целочисленными координатами
.
В точках a, b
находятся отражающие стенки, каждый
толчок перемещает частицу вправо с
вероятностью p, а
влево с вероятностью q,
если только частица не находится у
стенки. Если частица находится у стенки,
то любой толчок переводит ее на 1 внутрь
промежутка между стенками.
Получается цепь Маркова с конечным числом состояний.