26. Показательное (экспоненциальное) распределение.

Опр. СВНТ Х называется распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром >0 , если .

Найдем m_X, D_X, _X – ?

D_X=1/² _X =1/

Замечание.

Среднее квадратическое отклонение для экспоненциального распределения совпадает с МО.

m_X =_X =1/

Найдем F_X(x) и построим ее график

I Случай

.

II Случай

_X =ln2/

Показательное распределение тесно связано с простейшим стационарным Пуассоновским потоком событий.

Покажем, что интервал времени Т между двумя соседними событиями в простейшем потоке, имеет показательное распределение с параметром  равным интенсивности потока.

Найдем .

Для того, чтобы подсчитать эту вероятность нужно, чтобы хотя бы одно событие потока попало на участок длины t.

Продифференцировав , получим

Показательное распределение играет большую роль в Марковских случайных процессах, теории массового обслуживания и теории надежности.

31.Непрерывные двумерные св

Пусть A – -алгебра множеств двумерного пространства R², порожденная всевозможными прямоугольниками вида

.

Опр.Двумерной плотностью распределения называется такая функция, что вероятность , где .

Из определения следуют ее свойства.

Свойства.

I. .

II. (условие нормировки).

III. .

IV. .

Опр. Двумерная СВ (X; Y) называется непрерывной, если ее распределение имеет f(x,y)

Пример:(двумерное равномерное распределение)

Плотность равномерного распределения на области конечной двумерной площади .

Замечание.

По последней формуле вычисляются так называемые геометрические вероятности.

Пусть известна . Найдем плотности распределения каждой из компонент X и Y.

Решение.

(*)

Продифференцируем обе части равенства (*) по Х, получим

32.Зависимые и независимые св,

В двух предыдущих параграфах было показано, как зная закон распределения системы двух (дискретных или непрерывных СВ) найти законы распределения отдельных компонент X и Y. Вопрос. Можно ли, зная законы распределения отдельных СВ (X, Y) входящих в систему , найти закон распределения всей системы? Нет, в общем виде этого сделать нельзя – это можно сделать только в одном частном случае, когда СВ X и Y образующие эту систему—независимы. Опр.Две СВ X и Y называются независимыми, если независимы все связанные с ними события {X<x_i}{Y<y_i}{X=x_i}{Y=y_i}

Замечание. Так как зависимость и независимость событий всегда взаимны, то зависимость и независимость СВ, также всегда взаимна: если X не зависит от Y, то Y не зависит от X. В терминах законов распределения, независимость СВ можно определить так: две СВ называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того какое значение приняла другая.Если компоненты X и Y двумерного вектора (X, Y) независимы, то функция распределения F(x,y) выражается, через функции распределения отдельных компонент. F(x,y)=P{X<x ,Y<y }

{X<x}и {Y<y}– независимы.

F(x,y)=P{X<x ,Y<y }= P{X<x}* P{Y<y }= F_X(x)* F_Y(y)

Это правило является необходимым и достаточным условием независимости для любого типа СВ.

1. Если X и Y независимые дискретные СВ с матрицей распределения .

2. Непрерывные СВ.

Если СВ образующие систему зависимы, то для нахождения закона распределения системы не достаточно знать законы распределения отдельных величин, входящих в систему, требуется знать так называемый условный закон распределения одной из них.