2.5. Лучевая поверхность

Введем в рассмотрение вектор . Поскольку для каждого на­правления в кристалле существуют две лучевые скорости и , оп­ределяемые уравнением (2.20), то вектор является двузначным по мо­дулю. При изменении вектора во всем пространстве конец вектора опишет некоторую двухоболочечную поверхность. Эта поверхность, яв­ляющаяся, по определению, годографом введенного вектора, называется лучевой поверхностью. Анало­гичным образом можно ввести понятие волновой поверхности кристалла как годографа вектора . В инже­нерной практике большее распространение получила первая из них, по­этому в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением свойств и примене­нием только лучевой поверхности.

Рассмотрим кристалл, в котором для определенности положим или . Отметим, что в указанных неравенствах может быть использован лишь один из знаков равенства: в противном случае кристалл является изотропным и дальнейшие рассуждения теряют смысл.

Рассмотрим вначале случай строгих неравенств. Для компонент и модуля введенного вектора лучевой поверхности справедливы равен­ства

с учетом которых уравнение (2.20) приводится к виду

Освобождаясь от знаменателей, получим уравнение лучевой по­верхности в виде

. (2.23)

Для выяснения вида лучевой поверхности рассмотрим сечения ее координатными плоскостями.

1. Плоскость , . В этом случае и уравнение (2.23) после несложных преобразований приводится к двум уравнениям

первое из которых есть уравнение окружности радиуса , второе - эллипс с полуосями и соответственно (рис. 13а).

2. Плоскость , . В этом случае и уравнение (2.23) приводится к двум уравнениям вида

являющихся также уравнениями окружности радиуса и эллипса с полуосями и (рис. 13б).

Рис. 13 в)

3

Рис. 13 а)

Рис. 13 б)

. Плоскость , . В этой плоскости , и после преоб­разований (2.23) получим уравнения двух кривых

(2.24 )

т.е. окружности радиуса и эллипса с полуосями и (рис. 13в). Эти кривые пересекаются в четырех точках, образующих два направле­ния , названные ранее лучевыми оптическими осями кристалла. Эти направления образуют с осью (ось соответствующей наименьшей главной скорости или наибольшей диэлектрической проницаемости) углы определяемые соотношениями

,

где и - координаты точек пересечения. Из выражения (2.24) получим

следовательно,

. (2.25)

Таким образом, лучевые оптические оси кристалла параллельны координатной плоскости , т.е. плоскости, образованной осями, соот­ветствующими максимальному и минимальному значениям диэлектриче­ских проницаемостей кристалла. В этой жe плоскости, кстати, находятся и волновые оптические оси, причем можно показать, что

. (2.26)

При кристалл называют положительным, в противном слу­чае - отрицательным.

2.6. Одноосные кристаллы

Рассмотрим частные случаи вырождения двуосного кристалла в одноосный. Это возможно в двух случаях:

1) , положительный кристалл , оптическая ось совпадает с осью . Уравнение лучевой поверхности распадается на уравнение сферы с радиусом и эллипсоида вокруг оси , вписанного в сферу:

С

Рис. 14

ечения лучевой поверхности координатными плоскостями пока­заны на рис. 14;

2) , отрицательный кристалл , оптическая ось кристалла совпадает с осью . Уравнение лучевой поверхности распада­ется на уравнение сферы с радиусом и эллипсоида вращения вокруг оси , описанного вокруг сферы:

Сечения лучевой поверхности координатными плоскостями пока­заны на рис. 15.

П

Рис. 15

оскольку одна из полостей лучевой поверхности - сфера, то при изменении положения вектора : скорость одной из волн остается посто­янной; соответствующую волну называют обыкновенной, ее скорость обозначают , а показатель преломления - . Скорость другой волны при изменении меняется, поэтому такую волну называют не­обыкновенной, ее скорость обозначают , а показатель преломления . Для положительного одноосного кристалла , для отрицательного .

Уместно заметить, что задаваемые в справочниках значения равны максимальным значениям для положительного кристалла и ми­нимальным - для отрицательного. Обратимся к рис. 16, где представлен лучевой эллипсоид Френеля для отрицательного одноосного кристалла. Плоскость, составленная вектором луча и оптической осью , называ­ется главной плоскостью. Как видно из рисунка, при изменении положе­ния вектора обыкновенная волна имеет постоянную скорость и ее вектор колеблется перпендикулярно главной плоскости. Скорость не­обыкновенной волны изменяется, а вектор колеблется в главной п

Рис. 16

лоскости.