15. Криволинейный интеграл. Определение, свойства, механический смысл криволинейного интеграла

Определение

Пусть   — гладкая, без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически.

   - (отрезок параметризации) — рассматриваем часть кривой.

Пусть   — разбиение отрезка параметризации  , причем  .

Зададим разбиение кривой  .

За   обозначим часть кривой от точки   до точки  ,  .

Введем мелкость разбиения отрезка параметризации  :  .

Введем набор промежуточных точек разбиения отрезка параметризации  :  .

Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой  .

Пусть нам также даны 4 функции, которые определены вдоль кривой  :  ,  ,  ,  .

Рассмотрим 4 интегральные суммы.

1) Интегральная сумма криволинейного интеграла первого рода:

.

2) Три интегральных суммы криволинейного интеграла второго рода:

,

,

.

Если  , то говорят, что функция   интегрируема в смысле криволинейного интеграла первого рода по кривой  , а сам предел называют криволинейным интегралом первого рода функции   по кривой   и обозначают  . Здесь   — дифференциал кривой.

Если  ,  ,  , то говорят, что функции  ,   и   интегрируемы в смысле криволинейного интеграла второго рода по кривой  , а сами пределы называют криволинейными интегралами второго рода функций  ,   и   по кривой   и обозначают

Сумму криволинейных интегралов второго рода функций  ,   и   также называют криволинейным интегралом второго рода вектор-функции   и обозначают:

.

Если кривая   замкнута (начало совпадает с концом), то в этом случае вместо значка   принято писать 

Своиства

Криволинейный интеграл первого рода

Свойства

1. Линейность:

3. Монотонность: если   на  , то

4. Теорема о среднем для непрерывной вдоль   функции  :

Очевидно, что:  .

5. Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла:  .

6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

[править]Вычисление

Пусть   — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция   определена и интегрируема вдоль кривой   в смысле криволинейного интеграла первого рода. Тогда

.

Здесь точкой обозначена производная по  :  .

[править]Криволинейный интеграл второго рода

[править]Свойства

1. Линейность:

2. Аддитивность:

3. Монотонность: если   на  , то

4. Оценка модуля:

5. Теорема о среднем: если   непрерывна на  , то  , такая что:  6. 

[править]Вычисление

Пусть   — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция   определена и интегрируема вдоль кривой   в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда

,

,

.

Если обозначить за   единичный вектор касательной к кривой  , то нетрудно показать, что

15. Вычисление криволинейных интегралов

Пусть гладкая дуга AB задана параметрически уравнениями: x=x(t), y=y(t), z=z(t), где α ≤ t ≤ β Кроме того, на этой дуге определены и непрерывны функции f(x,y,z), P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z),тогда криволинейные интегралы могут быть вычислены следующим образом: а) криволинейный интеграл 1-го рода:

б) криволинейный интеграл 2-го рода:

1-го рода

Определение

Пусть кривая C описывается векторной функцией  , где переменная s представляет собойдлину дуги кривой (рисунок 1).  Если на кривой C определена скалярная функция F, то интеграл   называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной функции F вдоль кривой C и обозначается как

Криволинейный интеграл   существует, если функция F непрерывна на кривой C.

Свойства криволинейного интеграла первого рода

Криволинейный интеграл I рода обладает следующими свойствами:

1. Интеграл не зависит от ориентации кривой;

2. Пусть кривая C₁ начинается в точке A и заканчивается в точке B, а кривая C₂ начинается в точкеB и заканчивается в точке D (рисунок 2). Тогда их объединением будет называться криваяC₁ U C₂, которая проходит от A к B вдоль кривой C₁ и затем от B к D вдоль кривой C₂. Для криволинейных интегралов первого рода справедливо соотношение

3. Если гладкая кривая C задана параметрически соотношением   и скалярная функция F непрерывна на кривой C, то

4. Если C является гладкой кривой в плоскости Oxy, заданной уравнением  , то

5. Если гладкая кривая C в плоскости Oxy определена уравнением  , то

6. В полярных координатах интеграл   выражается формулой

где кривая C задана в полярных координатах функцией  .

2-го рода

пределение

Предположим, что кривая C задана векторной функцией  , где переменная s − длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции

представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (рисунок 1).  В приведенной выше формуле α, β и γ − углы между касательной и положительными направлениями осейOx, Oy и Oz, соответственно.

Введем векторную функцию  , определенную на кривой C, так, чтобы для скалярной функции

существовал криволинейный интеграл  . Такой интеграл   называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции   вдоль кривой C и обозначается как

Таким образом, по определению,

где   − единичный вектор касательной к кривой C.  Последнюю формулу можно переписать также в векторной форме:

где  .  Если кривая C лежит в плоскости Oxy, то полагая R = 0, получаем