5. Понятие мощности множества. Сравнение мощностей. Теорема Кантора-Берштейна. Операции над кардинальными числами.

Множества А и В называются эквивалентными (А~В), если существует биекция f: А↔В.

Свойства отношения эквивалентности:

1. А~А (поскольку id_A: А↔А);

2. если А~В, то В~А (т.к. из f: А↔В следует f^-1: В↔А);

3. если А~В и В~С, то А~С (т.к. из f: А↔В, g: В↔С следует f•g: А↔С).

Мощностью множества А называется класс всех множеств, эквивалентных множеству А (|А|).

Эквивалентные множества А и В называются равномощными: |A|=|B|.

Если А~n для некоторого , т.е. А имеет ровно n элементов, то множество А называется конечным (|A|=n).

Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если А~ω, то множество А называется счетным: |A|=ω. Если А~2^ω, то множество А называется континуальным или континуумом: |A|=2^ω.

Мощности множеств также иногда называют кардинальными числами.

Сравнение мощностей:

Говорят, что мощность множества А не превосходит мощности множества В: |A|≤|B|, если А эквивалентно некоторому подмножеству множества В

Теорема Кантора-Бернштейна:

Если |A|≤|B| и |B|≤|A|, то |A|=|B|.

Доказательство: Пусть f: A→B, g: B→A – разнозначные отображения, А₀=А, А₁=g(B) и А_n+2=(f•g)(A_n). Индукцией по n легко показать, что , . Пусть и . Очевидно, что и при i≠j. Т.к. f•g разнозначно отображает M_i на М_i+2 для любого , то отображение h: А→А, определенное следующим образом:

является разнозначным отображением А на . Т.к. |B|=|A₁|, |B|=|A|.

Следствие: Для любых множеств А и В выполняется только одно из соотношений: |A|=|A|, |A|<|B|, |B|<|A|.

Операции над кардинальными числами:

Пусть |A|=α, |B|=β. Тогда

1) ;

2) ;

3) .

Для конечных кардинальных чисел справедливы следующие три правила, используемые в комбинаторике:

Правило суммы: Если |A|=m, |B|=n, то .

Правило произведения: Если |A|=m, |B|=n, то .

Правило степени: Если |A|=m, |B|=n, то |A^B|=mⁿ.

Некоторые свойства бесконечных кардиналов:

ω²~ω; ω~ ; |Q|=ω; |P(U)|=2^|U|; |U|<2^|U|; если |A|>ω и |B|≤ω, то |A\B|=|A|; 2^ω~10^ω~ω^ω;

6. Конечные, счетные, континуальные множества. Мощность булеана.

Если А~n для некоторого , т.е. А имеет ровно n элементов, то множество А называется конечным (|A|=n).

Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если А~ω, то множество А называется счетным: |A|=ω. Если А~2^ω, то множество А называется континуальным или континуумом: |A|=2^ω.

Мощности множеств также иногда называют кардинальными числами.

Мощность булеана:

|P(U)|=2^|U| для любого множества U.

Доказательство:

Установим биекцию между Р(U) и 2^А

Любому подмножеству А из U взаимно однозначно ставим в соответствие функцию , для которой

т.е. P(U)~2^U. Заметим, что 2^|U|=|2^U|.

7. Матрицы бинарных отношений и их свойства. Специальные бинарные отношения.

Рассмотрим два конечных множества А={a₁, a₂,…, a_m}, B={b₁, b₂,…, b_n} и бинарное отношение . Определим матрицу [P]=(p_ij) размера бинарного отношения Р по следующему правилу:

Полученная матрица содержит полную информацию о связях между элементами.

Основные свойства матриц бинарных отношений:

1. Если , [P]=(p_ij), [Q]=(q_ij), то и , где сложение осуществляется по правилам 0+0=0, 1+1=1+0=0+1=1, а умножение – обычным образом.

2. Если , , то , где умножение матриц [P] и [Q] производится по обычному правилу умножения матриц, но произведение и сумма элементов по определенным в п.1 правилам.

3. Матрица обратного отношения Р^-1 равна транспонированной матрице отношения P: [P^-1]=[P]^T.

4. Если , [P]=(p_ij), [Q]=(q_ij), то p_ij≤q_ij.

5. Матрица тождественного отношения id_A единична: [id_A]=E.

Специальные бинарные отношения:

Пусть Р – бинарное отношение на множестве А:

Отношение Р называется рефлексивным, если для всех выполняется , т.е . Отношение Р называется симметричным, если для любых из следует , т.е Р^-1=Р, или [P]^T=[P]. Отношение Р называется антисимметричным, если из и следует, что x=y, т.е , или на языке матриц это означает, что в матрице все элементы вне главной диагонали являются нулевыми. Отношение Р называется транзитивным, если из и следует , т.е