4. Определение главного вектора и главного момента сил инерции (вращение вокруг неподвижной оси; плоское движение).

Вращение вокруг неподвижной оси (рис.4.3).

Здесь

ω_х = ω_y = 0; ω_z = ω; ε_x = ε_y = 0; ε_z = ε; w₀ = 0.

Для определения главного вектора сил инерции найдем векторные произведения:

, .

Отсюда найдем проекции главного вектора сил инерции:

(4.20)

Для определения главного момента сил инерции найдем I₀ и :

Подставляя найденные соотношения в выражение (4.17), найдем главный момент сил инерции в проекциях на координатные оси:

(4.21)

в). Плоское движение звена. Выберем в качестве полюса центр масс звена С. Введем систему координат Сxyz так, чтобы ось Сz была перпендикулярна плоскости движения звена. В осях Cxyz построим тензор инерции I_С:

.

Тогда получим следующие выражения для главного вектора и главного момента сил инерции:

, (4.22)

5. Решение уравнений кинетостатики. Особенности расчёта плоского механизма. Пример с одноподвижным механизмом.

Для механизмов с идеальными связями уравнения кинетостатики представляют собой систему линейных алгебраических уравнений, обладающую единственным решением, если избыточные связи в системе отсутствуют, а рассматриваемое положение механизма не является особым. Для сложных механизмов, содержащих большое число подвижных звеньев, система уравнений кинетостатики имеет высокий порядок (для N–1 подвижных звеньев – 6ּ(N–1) уравнений). Ее решение существенно облегчается тем, что она может быть разделена на несколько независимых систем, каждая из которых содержит обобщенную движущую силу и реакции кинематических пар, действующие на звенья одной структурной группы. Действительно, для каждой структурной группы, не содержащей избыточных связей, справедлива структурная формула

(4.23)

где w_G – число степеней подвижности группы, N_G – число подвижных звеньев группы, p_SG – число s-подвижных кинематических пар в группе. С другой стороны, как было показано выше, сумма

(4.24)

представляет собой число неизвестных движущих сил и реакций в идеальных связях, подлежащих определению. Сравнивая выражения (4.23) и (4.24), замечаем, что n_u=6N_G, т.е. число неизвестных сил равно числу уравнений кинетостатики. Таким образом, уравнения кинетостатики могут решаться последовательно для каждой структурной группы.

Силовой расчет следует производить в направлении, обратном геометрическому и кинематическому расчетам, т.е. начинать его с групп последнего слоя. Тогда реакции во внешних кинематических парах групп m–го слоя оказываются известными и могут рассматриваться как заданные силы при расчете групп (m–1)-го слоя.

О собенности расчета плоского механизма. В плоском механизме, выделяя последовательно плоские структурные группы, можно для каждой из них определить отдельно компоненты реакций, лежащих в плоскости движения х0y (R_x, R_y, ), и обобщенные движущие силы. Компоненты реакций, не лежащие в плоскости движения, входят в другую группу уравнений. Часто из-за наличия избыточных связей определение всех реакций второй группы (Rz, , ) становится невозможным; в этом случае приходится ограничиваться определением только реакций освобождающих связей.

На рис.4.4 показан плоский механизм с одной степенью подвижности, состоящий из двух структурных групп: однозвенной одноподвижной группы (звено 1) и группы Ассура типа ВВП (звенья 2 и 3).

Н а рисунке нанесены активные силы: заданные и подлежащие определению (движущий момент Q), а также силы инерции, лежащие в плоскости движения , и проекции моментов сил инерции на ось z, перпендикулярную плоскости движения ( ). Силовой расчет начинается с последней группы, т.е. группы Ассура ВВП (рис.4.5, а). В соответствии с принципом освобождаемости от связей в шарнире А и в ползуне В приложены реакции отброшенных связей. На рисунке показаны компоненты реакций, лежащие в плоскости движения. Во вращательных парах (например, в шарнире А) возникают реакции с компонентами R_x и R_y, а в поступательных парах (например, в поступательной паре В) – нормальная реакция R и момент . Каждая компонента реакций снабжена двумя индексами, указывающими номер воздействующего звена и номер звена, воспринимающего воздействие. Следовательно, в шарнире А со стороны звена 1 на звено 2 действуют компоненты реакции R_12x и R_12y, а в поступательной паре В со стороны стойки 0 на ползун 3 действуют реакция R₀₃ и момент .

Реакция в шарнире В является внутренней для группы, поэтому она на рисунке не показана. Для того, чтобы включить в рассмотрение реакцию в шарнире В, надо отбросить либо звено 2, либо звено 3. На рис.4.5, б оставлено звено 3 (ползун); к указанным ранее силам добавлены компоненты реакции R_23x и R_23y, действующей со стороны звена 2 на звено 3.

Таким образом, в группе ВВП в плоскости, перпендикулярной оси z, всего 6 неизвестных: R_12x, R_12y, R_23x, R_23y, R₀₃, . Для плоской двухзвенной группы можно составить 6 независимых уравнений кинетостатики. В некоторых случаях удается так составить уравнения, чтобы в них было по одному неизвестному. Например, для звена 3 из условия равенства нулю суммы моментов всех сил относительно оси Bz (т.е. оси z, проходящей через точку B) следует: .

Сумма моментов всех сил, действующих на звенья 2 и 3, относительно оси Аz:

(Р + Ф₃)(y_A – y_B) – (R₀₃ – G₃)(x_A – x_B) + Ф_2x(y_A – y_S2) –

– (Ф_2y – G₂)(x_A – x_S2) + = 0,

где Ф_2х и Ф_2y – проекции главного вектора сил инерции второго звена, х_А, y_A, x_B, y_B, x_S2, y_S2 – координаты точек соответственно А, В, S₂. Отсюда можно найти реакцию R₀₃. После этого легко определяются остальные неизвестные. Уравнения для ползуна 3:

R_23x + P + Ф₃ = 0,

R₀₃ + R_23y – G₃ = 0.

Уравнения для звеньев 2 и 3:

R_12x + Ф_2x + P + Ф₃ = 0;

R_12y + Ф_2y – G₂ + R₀₃ – G₃ = 0.

П осле определения всех реакций в группе ВВП переходят к расчету первой структурной группы (рис.4.6).

Реакции в шарнире А уже известны: в соответствии с третьим законом Ньютона R_12x=–R_21x, R_12y=–R_21y. Следовательно, остаются три неизвестные: компоненты реакции R_01x, R_01y в шарнире 0 и движущий момент Q. Для кривошипа можно составить три уравнения кинетостатики, из которых находятся оставшиеся неизвестные. Если угловая скорость вращения кривошипа постоянна и центр масс находится на оси вращения О, то уравнения кинетостатики можно записать в виде:

R_21x + R_01x = 0,

R_21y + R_01y – G₁ = 0,

R_21x(y₀ – y_A) – R_21y(x₀ – x_A) + Q = 0.

Последовательность силового расчета проиллюстрирована на схеме рис.4.7. Предварительно определяются силы инерции . Потом решаются 6 уравнений для звеньев 2 и 3 группы ВВП, входящей во второй слой, находятся реакции R_12x, R_12y, R_23x, R_23y, R₀₃, . Затем решаются три уравнения для звена 1, являющегося группой первого слоя. Реакции R_21x и R_21y рассматриваются как известные (R_12x = – R_21x, R_12y = – R_21y). Определяются реакции R_01x, R_01y и движущий момент Q.