Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца

В процессе движения заряда (например, электрона) по однородному проводнику, заряд испытывает как упругие столкновения (с другими электронами), так и неупругие столкновения (с ионами). Значение его средней (за достаточный промежуток времени t, включающий несколько столкновений с ионами) скорости дрейфа u остается, как мы увидели, неизменной, а значит вся дополнительная кинетическая энергия W, получаемая зарядом от поля в течение некоторого времени t, за это же время полностью переходит в теплоту. Согласно известному из курса механики определению кинетической энергии, величина W равна работе, совершаемой электрической силой F за время t. Эта работа равна произведению силы на перемещение: (F, u t), а значит, один носитель передает проводящей среде за время tколичество теплоты

Q₁ W = (F,ut)=qE ut. (3.4.1)

Здесь учтено что скорость дрейфа u сонаправлена с напряженностью E.

Пусть число носителей тока в единичном объеме проводника равно n. Тогда работа тока, совершенная в единичном объеме проводника за время t (равная количеству тепла, выделяющемуся в этом объеме за время t), равна с учетом определения (3.1.4)

А_уд = n Q₁ = q n u Е  t = j E  t. (3.4.2)

Мощность тока на единицу объема проводника (удельная мощность), равна

. (3.4.3)

В последнем равенстве учтен закон Ома в дифференциальной форме (3.2.3). Формула (3.4.3) выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Умножая удельную мощность на объем участка проводника с сечением S и длиной L, получим для мощности тока на этом участке проводника соотношение

. (3.4.4)

Подставляя в него закон Ома в форме (3.2.5), получаем

. (3.4.5)

Формула (3.4.5) выражает закон Джоуля-Ленца в интегральной форме. В такой форме он оказывается справедлив и для мощности тока в неоднородном участке цепи. В частности внутри источника тока эта формула верна, если под сопротивление подразумевать внутреннее сопротивление источника r.

Классическая теория электропроводности металлов

Исходя из представлений о свободных электронах, Друде разработал классическую теорию электропроводности металлов, которая затем была усовершенствована Лоренцем. Друде предположил, что электроны проводимости в металле ведут себя подобно молекулам идеального газа. В промежутках между соударениями они движутся совершено свободно, пробегая в среднем некоторый путь . Правда в отличие от молекул газа , пробег которых определяется соударениями молекул друг с другом, электроны сталкиваются преимущественно не между собой, а с ионами, образующими кристаллическую решетку металла. Эти столкновения приводят к установлению теплового равновесия между электронным газом и кристаллической решеткой. Полагая, что на электронный газ могут быть распространены результаты кинетической теории газов, оценку средней скорости теплового движения электронов можно произвести по формуле . Для комнатной температуры ( 300К) вычисление по этой формуле приводит к следующему значению: . При включении поля на хаотическое тепловое движение, происходящее, со скоростью , накладывается упорядоченное движение электронов с некоторой средней скоростью . Величину этой скорости легко оценить, исходя из формулы, связывающей плотность тока j с числом n носителей в единице объема, их зарядом е и средней скоростью :

(18.1)

Предельная допустимая техническими нормами плотность тока для медных проводов составляет около 10 А/мм² = 10⁷ А/м². Взяв для n=10²⁹ м^-3, получим

Таким образом, даже при больших плотностях тока средняя скорость упорядоченного движения зарядов в 10⁸ раз меньше средней скорости теплового движения .

Любая точка разветвления цепи, в которой сходится не менее трех проводников с током, называется узлом. При этом ток, входящий в узел, считается положительным, а ток, выходящий из узла, — отрицательным.

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

Например, для рис. 148 первое правило Кирхгофа запишется так:

Первое правило Кирхгофа вытекает из закона сохранения электрического заряда. Действительно, в случае установившегося постоянного тока ни в одной точке проводника и ни на одном его участке не должны накапливаться электрические заряды. В противном случае токи не могли бы оставаться постоянными.

Второе правило Кирхгофа получается из обобщенного закона Ома для разветвлен­ных цепей. Рассмотрим контур, состоящий из трех участков (рис. 149). Направление обхода по часовой стрелке примем за положительное, отметив, что выбор этого направления совершенно произволен. Все токи, совпадающие по направлению с напра­влением обхода контура, считаются положительными, не совпадающие с направлением обхода — отрицательными. Источники тока считаются положительными, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура. Применяя к участкам закон Ома (100.3), можно записать:

Складывая почленно эти уравнения, получим

                                          (101.1)

Уравнение (101.1) выражает второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов I_i на сопротивления R_i соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме э.д.с. , встречающихся в этом контуре:

                                                   (101.2)

При расчете сложных цепей постоянного тока с применением правил Кирхгофа необходимо:

1. Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи; действительное направление токов определяется при решении задачи: если искомый ток получится положительным, то его направление было выбрано правильно, отрицательным — его истинное направление противоположно выбранному.

2. Выбрать направление обхода контура и строго его придерживаться; произведе­ние IR положительно, если ток на данном участке совпадает с направлением обхода, и, наоборот, э.д.с., действующие по выбранному направлению обхода, считаются поло­жительными, против — отрицательными.

3. Составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу искомых величин (в систему уравнений должны входить все сопротивления и э.д.с. рассматриваемой цепи); каждый рассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент, не содержащийся в предыдущих контурах, иначе получатся уравнения, являющиеся простой комбинацией уже составленных.

В качестве примера использования правил Кирхгофа рассмотрим схему (рис. 150) измеритель­ного моста Уитстона.* Сопротивления R₁, R₂, R₃ и R₄ образуют его «плечи». Между точками А и В моста включена батарея с э.д.с. и сопротивлением r, между точками С и D включен гальванометр с сопротивлением R_G. Для узлов А, В и С, применяя первое правило Кирхгофа, получим

                                     (101.3)

Для контуров АСВA, ACDA и CBDC, согласно второму правилу Кирхгофа, можно записать:

                  (101.4)