4.5. Нахождение системы уравнений переключающей функции управления

Нахождение системы уравнений переключения управления для задач с ненулевыми начальными условиями выполняется аналогично с незначительным усложнением математических преобразований.

Начальные условия порождают начальные составляющие от управляемой переменной и ее производных до (n-1)-порядка, которые следует учитывать при определении площадей и . Интегралы от начальных составляющих должны входить не только в определение площади , но и должны учитываться при нахождении площади . Пределы интегрирования необходимо брать в первом случае от 0 до ¥, во втором  от 0 до , где индекс "n" равен показателю степени дифференциального уравнения замкнутой автоматической системы, которое в общем случае можно представить:

(4.30)

с начальными условиями:

при t=0 , , ..., (4.31)

С учетом начальных условий (4.31) уравнение (4.30) в операторной форме будет иметь вид:

Теперь можно перейти к управляемой переменной через передаточные функции

Вследствие того, что управление представляет собой кусочнопостоянную функцию (рис. 4.1÷4.3), то его можно записать как

,

где u  постоянная величина.

Вывод и вид системы уравнений переключающей функции будет зависеть от вида принятого управляющего воздействия. В случае симметричного относительно оси времени источника энергии (рис.4.2) найденная система уравнений переключающей функции может быть использована в оптимальном синтезе систем управления, в которых предусматривается двухполярный симметричный источник энергии. Симметричный относительно номинальнозаданного управления источник энергии (рис.4.2, 4.3) применяется при проектировании регуляторов состояния по ошибке и регуляторов для однополярных и двухполярных несимметричных источников энергии.

Рассмотрим примеры нахождения систем уравнений переключающей функции управления для апериодических объектов с управлением двухполярным симметричным источником энергии.

Пример 4.3. Апериодический объект первого порядка.

Уравнение объекта

(4.32)

Начальные условия при t =0

Конечные условия при

Запишем уравнение (4.32) в операторной форме:

,

из него выделим управляемую переменную

,

перейдем к временному представлению

и свободной составляющей

. (4.33)

В выражение (4.33) входит, кроме основной свободной составляющей , еще начальная составляющая управляемой переменной , которую следует учитывать при определении площадей и :

,

.

Переходя к балансу площадей

,

получаем уравнение

.

После соответствующих математических выкладок приходим к уравнению

или в относительной форме

,

где ; .

Пример 4.4. Апериодический объект второго порядка.

Уравнение объекта

.

Начальные условия при t=0 , , конечные условия при .

Сделаем переход к операторному уравнению

и выделим из него управляемую составляющую

.

Временные переходная функция и свободная составляющая примут вид:

где ; ; ; ; .

При определении площадей и также следует учитывать начальные составляющие

;

(4.34)

(4.35)

(4.36)

(4.37)

Объединяя выражения (4.34) с (4.35) и (4.36) с (4.37) в уравнения и решая их, получаем систему уравнений поверхности переключения управления:

или в относительной форме

(4.38)

где ; .

Подобным образом находим систему уравнений для различных объектов более высокого порядка с разными вещественными корнями.

Пример 4.5. Апериодический объект nго порядка с нулевыми начальными условиями.

Решение уравнения (4.11) при и имеет вид:

, (4.39)

где  постоянная интегрирования;  корень уравнения;  постоянная времени; i = 1, 2, ... , n .

Общая площадь

распадается на n площадей или n номинальнозаданных функционалов.

Общая площадь так же имеет n слагаемых или n конечно - временных функционалов

.

Общая вариация функционалов распадается на n частных вариаций функционалов, система которых для объекта (4.11) запишется следующей системой уравнений

Решение (4.39) приводит к системе уравнений

(4.40)

Чтобы решить систему трансцендентных уравнений, необходимо задаться либо значением управления, либо конечным временем регулирования . Причем значение управления выбирается, исходя из ограничений (4.6÷4.10).