4.3. Модель задающих варьируемых воздействий

Модель входного воздействия, построенная на основе метода варьирования свободных интегральных функционалов, будем называть моделью входного варьируемого воздействия.

Метод варьирования свободных функционалов синтезирует функцию управления: находятся моменты переключения при заданном максимальнодопустимом управлении, либо находятся моменты переключения и значения управления при заданном конечном времени . На рисунке 4.1÷4.3 изображена функция управления симметричная относительно оси времени и симметричная относительно заданного уровня. Математически функция управления представляется следующим выражением:

(4.18)

где  оптимизирующая функция управления.

Оптимизирующим действием функция управления обладает благодаря ее варьированию во времени. Запишем вариации для ограничений :

(4.19)

где вариация n-го порядка. Тогда запишем (4.18) в более компактной форме :

(4.20)

Вариации (4.19) представляют собой временные вариации функции управления и обладают следующим свойством: в них моменты переключения являются основными искомыми параметрами, погрешность которых зависит от точности определяемых параметров объекта управления, при оптимальном синтезе. При этом вариация управления, а вместе с ней и оптимизирующая функция выполняет генераторную функцию. Она генерирует управляющие сигналы в определенной временной последовательности, и тем самым весь процесс синтеза осуществляется через текущую функцию времени и ее запаздывающих функций . Здесь  запаздывающий аргумент времени.

4.4. Физический смысл и энергетические аспекты управления

При изучении объекта управления возникают определенные цели. Желаемая цель может быть достигнута, если спроектированная система управления будет отвечать заданным требованиям. Выбор наилучшего управления зависит от принятого критерия, в качестве которого принимается функционал.

Важным оптимальным критерием является критерий максимального быстродействия. Оптимальные по быстродействию системы позволяют повысить производительность машин, станков и технологического оборудования. Такие системы имеют не только минимальное время переходного процесса, но и, как правило, наименьшую динамическую ошибку регулирования.

Управление по быстродействию имеет ясный физический смысл, который связан с балансом энергии в объекте управления [5, 8, 12].

Уравнение баланса энергии в объекте, когда совершается в нем переходный процесс, можно представить в виде суммы основных двух составляющих

, (4.21)

где  полезная работа, совершаемая в объекте;  работа, которую необходимо затратить на преодоление инертности объекта за время переходного процесса.

Работа совершается только при свободном движении. При подключении источника энергии к объекту в нем запасается энергия. Этот вид энергии играет важную роль в системах управления.

Переходя к мощности

и выделяя время, получаем выражение

из которого видно, что увеличение мощности приводит к ускорению процесса запасания энергии в объекте.

В МВСФ вводят интегральный функционал от функции свободной составляющей с пределом интегрирования от 0 до ¥ и номинальнозаданным управлением

(4.22)

где  свободная составляющая, соответствующая корню характеристического уравнения , i=1, 2, ..., n.

Будем называть функционал (4.22) номинальнозаданным или просто НЗфункционал.

После этого вводят понятие конечновременного интегрального функционала от той же свободной составляющей , который обозначим через КВфункционал. Для получения конечновременного управления необходимо задаться максимальнодопустимым управлением и выполнять варьирование его во времени. И затем приравнять функционалы

"КВфункционал"="НЗфункционал" (4.23)

Очевидно, что выражение (4.23) характеризует динамический баланс переходного процесса, так как функционалы представляют собой площади, соответствующие кривой переходного процесса с бесконечным временем (НЗфункционал) и кривой переходного процесса с конечным временем (КВфункционал).

Номинальнозаданный функционал, который также называется исходным функционалом.

Пример 4.1. Апериодический объект первого порядка.

Динамический процесс в нем описывается дифференциальным уравнением

, (4.24)

где  управляемая переменная (координата);  управление (управляющее воздействие); Т  постоянная времени объекта;  коэффициент передачи объекта.

Для получения НЗфункционала зададимся номинальнозаданным управлением , единичным коэффициентом передачи и примем нулевые начальные условия при .

Тогда решение уравнения (4.24) запишется

(4.25)

Здесь  корень уравнения.

На рис.4.4 показаны изменения координат x(t) и u(t).

а)

б)

в)

Рис.4.4. Изменения координат x(t) и u(t): а) номинальнозаданное управление; б) переходная временная функция (переходный процесс); в) свободная составляющая переходного процесса.

Кривая, изображенная на рисунке 4.4в), характеризует свободную составляющую переходного процесса

Площадь равна

.

Таким образом есть НЗфункционал или .

Очевидно, что площадь пропорциональна запасенной энергии в самом элементе. Это легко подтверждается примером электрической цепи, содержащей последовательно включенные индуктивность и сопротивление. Для этого примера x будет соответствовать току i, а u  приложенному напряжению, и выражение (4.25) примет вид

где ; ;  постоянная времени,

.

Если взять половину произведения , то получаем известную формулу

,

которая характеризует величину магнитной энергии, запасенной в индуктивности за время переходного процесса.

Таким образом, индуктивная катушка является приемником электрической энергии, которая запасается в магнитном поле.

Другим примером является электрическая цепь, содержащая последовательно включенные конденсатор и сопротивление. Для такой цепи запасенная энергия в конденсаторе в виде электрического поля равна

,

где С  емкость конденсатора;  приложенное к цепи постоянное напряжение.

Пример 4.2. Апериодический объект второго порядка.

Имеет два действительных отрицательных корня:

и , где и  постоянные времени объекта.

Запишем для такого объекта уравнение:

и его решение при нулевых начальных условиях и номинально  заданном управлении

(4.26)

Решение (4.26) записано для случая, когда . Для объекта второго порядка получается две свободных составляющих

Номинальнозаданные функционалы будут равны

= .

Тогда можно записать:

.

Получили два функционала

(4.27)

Для объекта n-го порядка с n действительными отрицательными корнями общая площадь и НЗфункционал равны:

(4.28)

, i = 1, 2, ..., n (4.29)

Из выражений (4.27÷4.29) видно, что для ускорения процесса накопления энергии и увеличения быстродействия системы управления необходимо сумму постоянных времени сделать наименьшей. В этом нет ничего нового. Так поступают в задачах синтеза систем с использованием традиционных методов годографа или интегральных оценок, и в некоторых современных методах пространства состояния, например методах теории модального управления.

МВСФ использует полученные выражения в качестве исходных, на основе которых формируется уравнение динамического баланса (2.2.6), критерий оптимальности по быстродействию и базовая вариация функционала.