Комплексные числа на плоскости. Модуль и аргумент числа, тригонометрическая форма. Сопряженные числа и их свойства.
Комплексным
числом называется
выражение вида a
+ ib,
где a
и b
– любые действительные числа, i
– некоторый символ, который называется
мнимой
единицей. Часто
используют символическую запись
.
Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z = a + ib. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z.
Геометрической интерпретацией действительных чисел является координатная прямая. Кроме того, как было установлено выше, на координатной прямой «нет места для новых точек», то есть любой точке на координатной оси отвечает действительное число. Следовательно, комплексные числа на этой прямой расположить уже нельзя, однако можно попытаться рассмотреть наряду с действительной осью, на которой мы будем откладывать действительную часть комплексного числа, ещё одну ось, ей перпендикулярную, и назвать её мнимой осью. Тогда любому комплексному числу z = x + iy можно поставить в соответствие точку координатной плоскости. На оси абсцисс будем откладывать действительную часть комплексного числа, а на оси ординат будем откладывать мнимую часть комплексного числа. Таким образом, мы построим взаимнооднозначное соответствие между всеми комплексными числами и всеми точками плоскости. Если такое соответствие построено, то координатная плоскость называется комплексной плоскостью.
Важной является интерпретация комплексного числа z = a + ib как вектора OA с координатами (a, b) на комплексной плоскости с началом в точке (0, 0) и концом в точке с координатами (a, b). Это соответствие является взаимнооднозначным.
Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу. Модуль комплексного числа z обычно обозначается |z| или r. Аргументом комплексного числа z = a + ib (z ≠ 0) называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором z; величина угла считается положительной, если отсчёт производится против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае. Угол φ, аргумент комплексного числа, обозначается φ = arg z. Для числа z = 0 аргумент не определён.
Пусть
и
φ = arg z.
Тогда можно записать:
z = a + bi = r (cos φ + i sin φ).
Такая форма записи комплексного числа называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.
Также используется показательная форма записи комплексного числа:
При этом считается, что
.
Тригонометрическая форма комплексного числа
Пусть
.
Положим
,
.
Из рисунка 17.4
очевидно, что
Тогда
.
Это выражение запишем в виде
|
Последняя запись называется
тригонометрической формой комплексного
числа. В отличие от нее запись числа в
виде
называют
иногда алгебраической формой
комплексного числа.
Комплексное число а — bi называется сопряженным к комплексному числу а +bi .
Свойства сопряженных чисел
Свойства модуля
Свойства аргумента
Показательная (экспоненциальная) форма комплексных чисел
где r - модуль;
-
аргумент;
