5. Обратимся теперь к вопросу об оценке точности интерполяции или экстраполяции.

В математике степень точности интерполяции оценивают по тому, как уменьшается ошибка интерполяции с уменьшением расстояния между точками, по данным в которых производится интерполяция, как быстро она стремится к нулю с безграничным уменьшением этого расстояния. Надо, однако, иметь в виду, что если такими данными являются результаты наблюдений, то с уменьшением расстояния ошибка интерполяции вообще не стремится к нулю. Помимо этого, упомянутые оценки характеризуют лишь метод, с помощью которого производится интерполяция, и никак не зависят от свойств того метеорологического элемента, который подвергается интерполяции.

Поэтому наряду с оценками упомянутого рода заслуживает внимания — а в некоторых отношениях и предпочтения — существенно иной путь оценки точности интерполяции, состоящий в определении статистических характеристик ошибок интерполяции .

Основной характеристикой точности интерполяции с рассматриваемой точки зрения является средний квадрат ошибки интерполяции

(5.18)

или корень из этой величины — средняя квадратическая ошибка интерполяции Е.

Легко показать, что если интерполяция линейна относительно наблюдаемых значений, то средняя квадратическая ошибка ее однозначно связана с характеристиками статистической структуры поля интерполируемого элемента и ошибок его измерения.

Действительно, пусть интерполяция производится по формуле (5.17). Чтобы эта формула имела смысл, необходимо, в частности, чтобы результат интерполяции не зависел от начала отсчета элемента f, что налагает на веса а, ограничение нормировки

(5.19)

Из (5.14), (5.17) и (5.18) следует формула

(5.20)

Перейдем в (5.20) к отклонениям от норм

,

, (5.21)

где - случайная ошибка наблюдений с нулевым математическим ожиданием.

Тогда получим

. (5.22)

При получении этой формулы поля норм и отклонений от них (аномалий) считались независимыми.

Первое слагаемое правой части формулы (5.22), представляет собой средний квадрат ошибки интерполяции норм

. (5.23)

Обычно, впрочем, оно мало по сравнению со вторым слагаемым. В частности, если норма одинакова во всех рассматриваемых точках, то, в силу (5.19), . Поэтому основной интерес представляет последнее слагаемое в формуле (5.22)

, (5.24)

представляющее собой дисперсию ошибки интерполяции.

Для нахождения этой величины необходимо знать веса а_i и поле отклонений от норм.

Подставляя (5.21) в (5.24), получим после несложных преобразований

. (5.25)

Вводя ковариации элемента f

, (5.26)

ковариации ошибок наблюдений

(5.27)

и взаимные ковариации элемента f и ошибок наблюдений

, (5.28)

можно записать формулу (5.25) в виде

, (5.29)

а формулу (5.22) в виде

. (5.30)

Зная функции f, R, R_∆ и R_f∆, можно оценить по этой формуле средний квадрат ошибки любой интерполяции, если только она линейна по отношению к наблюдаемым значениям.

Формулу (5.30) обычно удается существенно упростить за счет предположений, относящихся к ошибкам наблюдений. Как уже упоминалось выше, почти всегда можно считать, что ошибки наблюдений не коррелируют с истинными значениями рассматриваемого элемента, так что все взаимные ковариации R_f∆ равны нулю.

Если, кроме того, считать, что ошибки наблюдений в разных точках не коррелируют, то формула (5.30) принимает более простой вид

, (5.31)

здесь R_∆ii- дисперсия ошибок наблюдений.

6. Выведенные формулы удобно использовать в несколько ином, безразмерном виде. Именно, введем в рассмотрение отношение среднего квадрата ошибки интерполяции к дисперсии элемента в точке, в которую выполняется интерполяция

. (5.32)

Величину ε² принято называть мерой ошибки интерполяции. Помимо этого используется также мера ошибки наблюдений

. (5.33)

Соответственно заменим весовые множители а_i

. (5.34)

Подставив (5.34) в (5), видим, что величины b_i представляют собой веса при интерполяции значений отношения метеорологического элемента к его среднему квадратическому отклонению:

. (5.35)

С помощью соотношений (5.32) — (5.34) легко привести формулу (5.30) к виду

. (5.36)

Здесь

, (5.37)

представляет собой коэффициент корреляции истинных значений элемента f в точках i и j, а первое слагаемое правой части есть мера ошибки интерполяции норм.