37 Роз’язком рівняння ( ), який задовольняє умовам , є функція:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
А .
с крайовими умовами
і початковою умовою
описує закон розподілу температури в однорідному стрижні довжини l, на кінцях якого підтримується нульова температура. Функція F(x;t) характеризує існуючі усередині стрижня точки (джерела) виділення або поглинання тепла. Якщо такі відсутні, F(x;t)=0 і рівняння називається однорідним.
Отримуємо:
,
38 Розв’язком рівняння ( ), який задовольняє умовам , є функція:
а)
;
б)
;
в)
;
г) ; д) інша відповідь.
В .
Рівняння виду
с крайовими умовами
і початковою умовою
описує закон розподілу температури в однорідному стрижні довжини l, на кінцях якого підтримується нульова температура. Функція F(x;t) характеризує існуючі усередині стрижня точки (джерела) виділення або поглинання тепла. Якщо такі відсутні, F(x;t)=0 і рівняння називається однорідним.
39
Розв’язком
рівняння
(
),
який задовольняє умовам
,
є функція:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
Г .
Рівняння виду
с крайовими умовами
і початковою умовою
описує закон розподілу температури в однорідному стрижні довжини l, на кінцях якого підтримується нульова температура. Функція F(x;t) характеризує існуючі усередині стрижня точки (джерела) виділення або поглинання тепла. Якщо такі відсутні, F(x;t)=0 і рівняння називається однорідним.
Отримуємо:
,
40 Розв’язком рівняння ( ), який задовольняє умовам , є функція:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
Б .
Рівняння виду
с крайовими умовами
і початковою умовою
описує закон розподілу температури в однорідному стрижні довжини l, на кінцях якого підтримується нульова температура. Функція F(x;t) характеризує існуючі усередині стрижня точки (джерела) виділення або поглинання тепла. Якщо такі відсутні, F(x;t)=0 і рівняння називається однорідним.
Отримуємо: ,
41
Методом Фур’є
знайти розв’язок
рівняння коливань струни
(
)
при умовах:
.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
Б .
Рівняння вільних коливань струни, закріпленої на кінцях:
має рішення виду
,
де коефіцієнти Аn і Вn знаходять із початкових умов:
, ;
42
Методом Фур’є
знайти розв’язок
рівняння коливань струни
(
)
при умовах:
.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
В .
Рівняння вільних коливань струни, закріпленої на кінцях:
має рішення виду
,
де коефіцієнти Аn і Вn знаходять із початкових умов:
, ;
43
. Методом Фур’є
знайти розв’язок
рівняння коливань струни
(
)
при умовах:
.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
А .
Рівняння вільних коливань струни, закріпленої на кінцях:
має рішення виду
,
де коефіцієнти Аn і Вn знаходять із початкових умов:
, ;
44
Методом Фур’є
знайти розв’язок
рівняння коливань струни
(
)
при умовах:
.
а)
;
б)
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
Г .
Рівняння вільних коливань струни, закріпленої на кінцях:
має рішення виду
,
де коефіцієнти Аn і Вn знаходять із початкових умов:
,
;
45
Методом Фур’є
знайти розв’язок
рівняння коливань струни
(
)
при умовах:
.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
В .
Рівняння вільних коливань струни, закріпленої на кінцях:
має рішення виду
,
де коефіцієнти Аn і Вn знаходять із початкових умов:
, ;
46
Методом Фур’є
знайти розв’язок
рівняння коливань струни
(
)
при умовах:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
А .
Рівняння вільних коливань струни, закріпленої на кінцях:
має рішення виду
,
де коефіцієнти Аn і Вn знаходять із початкових умов:
, ;
47
Методом Фур’є знайти розв’язок рівняння
теплопровідності
(
)
при умовах:
.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
Б .
Розв’язок
шукаємо у виді:
Тобто: 
48
Методом Фур’є знайти розв’язок рівняння
теплопровідності
(
)
при умовах:
.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
В .
Розв’язок шукаємо у виді:
Тобто:
49
Методом Фур’є знайти розв’язок рівняння
теплопровідності
(
)
при умовах:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
інша відповідь.
А .
Розв’язок шукаємо у виді:
Тобто:
50
Методом Фур’є знайти розв’язок рівняння
теплопровідності
(
)
при умовах:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
Г .
Розв’язок шукаємо у виді:
Тобто:
51
Розв’язком
задачі Діріхле для круга
(
-
радіус круга) є функція:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
Б .
Нехай в площині 0ху є коло радіусом R з центром на початку координат і на його окружності задана деяка функція f(), де - полярний кут. Потрібно знайти функцію u(r,), непреривну в колі, включаючи границю, задовільняючу всередині кола рівнянню Лапласа
.
і на колі що приймає задані значення .
.
Формула називається інтегралом Пуассона. Шляхом аналізу цієї формули доводиться, що якщо формула f() неперервна, то функція U(r,), визначена інтегралом задовільняє рівність (1) і при rR буде U(r,)f(), тобто U(r,) являє собою рішення поставленої задачі Діріхле для кола.
;