Пирамида

Пирамидой называется тело, образованное плоским многоугольником (основание), точкой, не лежащей в плоскости этого многоугольника (вершина), и всех отрезков, соединяющих точки основания с вершиной. Стороны основания есть ребра основания. Прямые, соединяющие вершины основания с вершиной трапеции, есть боковые ребра. Совокупности прямых, соединяющих каждую по отдельности сторону основания с вершиной, называются боковыми гранями. Совокупность боковых граней задает боковую поверхность пирамиды. Высота, проведенная в боковой грани из вершины пирамиды на сторону основания, называется апофемой. Углы при вершине боковых граней называются плоскими углами при вершине пирамиды. Двугранные углы, образованные смежными боковым гранями, называются двугранными углами при боковых ребрах пирамиды. При вершинах основания мы имеем n трехгранных углов. Здесь: Плоские углы, образованные боковыми ребрами и сторонами основания, называются плоскими углами при основании. Двугранные углы между боковыми гранями и плоскостью основания называются двугранными углами при основании. Треугольная пирамида иначе называется тетраэдром (т.е. четырехгранником). Особенность тетраэдра в том, что любая из его граней может быть принята за основание.

Пирамида называется правильной, если в её основании лежит правильный многоугольник, а высота, опущенная из вершины пирамиды на основание, пересекает его в центре этого многоугольника (иначе говоря, вершина пирамиды проектируется в центр основания).

Прямоугольной называется пирамида, одно из боковых ребер которой перпендикулярно основанию.

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Площадь боковой поверхности произвольной пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.

При нахождении площади поверхности пирамиды, не обладающей ни одним из перечисленных признаков, осуществляется вычисление площадей отдельных граней, а затем производится их суммирование.

Часть пирамиды, образованная при сечении пирамиды плоскостью, параллельной её основанию, заключенная между секущей плоскостью и основанием, называется усеченной пирамидой.

Если пирамида правильная, то площадь её боковой поверхности можно вычислить по формуле:

a – длина апофемы

Конус

l - образующая

Цилиндр

Основные формулы стереометрии

1). Произвольная призма ( — площадь основания; — высота; — объём): .

2). Прямая призма  (  —  периметр основания; —  боковое ребро; —  боковая поверхность):

3). Прямоугольный параллелепипед  (  — его измерения;  —  диагональ): 

  ;  .

4). Куб (  — ребро):

;  .

5). Произвольная пирамида ( — площадь основания; —  высота; — объём):

.

6).  Правильная пирамида ( — периметр основания; — апофема; —  площадь боковой поверхности):

;  .

7). Произвольная усечённая пирамида  (  и   — площади оснований; — высота;  — объём):

.

8).  Цилиндр (  —  радиус основания;  —  высота;   —  площадь боковой поверхности;  — объём):

; .

9).  Конус (  —  радиус основания; — высота; — образующая; — площадь боковой поверхности; — объём):

; .

10).  Шар, сфера ( — радиус шара; — площадь сферической поверхности; — объём):

;  .

11).  Шаровой сегмент ( — радиус шара; —  высота сегмента;  — площадь сферической поверхности сегмента; — объём):

;  .

12).  Шаровой сектор ( — радиус шара ;  — высота сегмента; —  объём):

.