6. Случайные процессы

6.1. Понятие случайного процесса. Функции и плотности распределения случайного процесса

На практике часто встречаются переменные величины, изменяющиеся в процессе опыта. Примерами могут служить величины, характеризующие ошибки радиодальномера при непрерывном измерении меняющейся дальности, случайные шумы в радиоприёмнике, процесс затухающих колебаний в электрической цепи, процесс качки корабля. Каждая из таких величин может быть описана функцией, зависящей от времени, которая в результате опыта может принять тот или иной вид, заранее неизвестный. Изучением подобных случайных явлений занимается область математики, называемая теорией случайных процессов.

Пусть t – вещественная переменная, называемая временем, а Т – множество её возможных значений. Случайным процессом (или случайной функцией времени) будем называть множество случайных величин , , заданных на некотором вероятностном пространстве и соответствующих различным значениям времени. Если Т конечно или счётно, то данное множество СВ называется случайным процессом с дискретным временем, а если Т – конечный или бесконечный промежуток числовой прямой – случайным процессом с непрерывным временем. В частном случае, когда , случайный процесс называется случайной последовательностью и обозначается

Реализацией (траекторией) случайного процесса называется неслучайная функция времени , соответствующая конкретному элементарному событию . Случайный процесс представляет собой множество всех возможных реализаций , соответствующих различным элементарным событиям, т.е. .

Сечением случайного процесса называется случайная величина , соответствующая конкретному значению времени . Возможные значения сечений называются состояниями случайного процесса. Если множество состояний конечно или счётно, то случайный процесс называется дискретным, а если оно представляет собой конечный или бесконечный промежуток числовой прямой – непрерывным.

Функция , зависящая от переменных и , называется одномерной функцией распределения случайного процесса . Если сечения процесса являются непрерывными СВ, то функция называется одномерной плотностью распределения .

Одномерный закон распределения, выражаемый функцией или плотностью, описывает закон распределения произвольного сечения, но не является полной характеристикой случайного процесса , поскольку он не отвечает на вопрос о зависимости СВ, соответствующих различным сечениям. Для более полной характеристики случайного процесса используются многомерные функции и плотности распределения.

При каждой фиксированной паре различных значений аргумента t случайный процесс является системой двух СВ. Функция

,

зависящая от переменных и , называется двумерной функцией распределения случайного процесса . Если сечения случайного процесса являются непрерывными СВ, то функция

называется двумерной плотностью распределения . Двумерный закон распределения описывает закон распределения системы СВ, соответствующей двум произвольным сечениям. Рассматривая n различных значений аргумента t, можно ввести понятия n-мерной функции и n-мерной плотности распределения.