4.3. Распределения “хи-квадрат”, Стьюдента и Фишера

Пусть – независимые СВ, распределённые по стандартному нормальному закону. Тогда распределение непрерывной СВ называется распределением “хи-квадрат” (или распределением Пирсона) с n степенями свободы. График плотности этого распределения имеет вид:

При имеет место . Для нахождения  из условия при различных n и р составлены таблицы.

Непрерывная СВ , где и СВ Х и независимы, называется дробью Стьюдента с n степенями свободы. График плотности этого распределения имеет вид:

При любом х имеет место . Для нахождения  из условия при различных n и р составлены таблицы. При увеличении n распределение СВ неограниченно приближается к стандартному нормальному распределению.

Непрерывная СВ , где СВ и независимы, называется дробью Фишера с степенями свободы. График плотности этого распределения имеет вид:

При имеет место . Для нахождения  из условия при различных и близких к нулю р составлены таблицы. Из цепочки равенств

следует, что при близких к единице р соответствующее  можно найти из условия .

4.4. Основные свойства математического ожидания

1⁰. Если с – константа, то .

Доказательство. Рассматривая константу как дискретную СВ, принимающую единственное возможное значение с вероятностью, равной единице, получим .

2⁰. Если с – константа, а Х – случайная величина, то .

Доказательство. Если Х – дискретная СВ, то

.

Если Х – непрерывная СВ, то

.

3⁰. Для любых двух СВ Х и Y имеет место

.

Доказательство проведём для случая, когда СВ Х и Y являются дискретными. Применяя формулу для математического ожидания функции двух СВ, получим

.

Но и , следовательно,

.

Данное свойство имеет обобщение на случай произвольного числа слагаемых: для СВ по индукции можно получить равенство

.

4⁰. Для любых двух СВ Х и Y имеет место

.

Доказательство. Из определения корреляционного момента и свойств математического ожидания имеем

,

откуда вытекает требуемое равенство.

Из данного свойства следует, что если СВ Х и Y некоррелированы, то . Эта формула имеет обобщение на случай произвольного числа величин: если – независимые СВ, то

.

4.5. Основные свойства дисперсии и коэффициента корреляции

1⁰. Если с – константа, то .

Доказательство. По определению дисперсии имеем

.

2⁰. Если с – константа, а Х – случайная величина, то .

Доказательство. По определению дисперсии имеем

.

3⁰. Для любых двух СВ Х и Y имеет место

, .

Доказательство. Покажем справедливость первого из равенств (второе доказывается аналогично).

Пусть , тогда . Вычитая почленно из первого равенства второе, получим , а по определению дисперсии

.

Из данного свойства следует, что если СВ Х и Y некоррелированы, то

.

Формула для дисперсии суммы имеет обобщение на случай произвольного числа величин: если – независимые СВ, то

.

4⁰. Для любых двух СВ Х и Y имеет место .

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную СВ и найдём её дисперсию:

.

Дисперсия любой СВ неотрицательна, поэтому . Рассмотрев СВ , аналогично найдём . Из двух полученных неравенств имеем . Разделив обе части последнего неравенства на положительную величину , получим .

5⁰. Если СВ Х и Y связаны линейной функциональной зависимостью, т.е. , где и , то при и при .

Доказательство. Пусть , тогда

.

Поскольку , то . Отсюда , т.е. при и при .