3.3. Зависимость и независимость св

Пусть – двумерный случайный вектор. Случайные величины Х и Y называются независимыми, если выполняется равенство . В противном случае они называются зависимыми. Независимость СВ Х и Y означает, что при любых события и независимы.

Теорема 1. Непрерывные СВ Х и Y независимы в том и только в том случае, если выполняется равенство .

Доказательство. Пусть СВ Х и Y независимы, т.е. выполняется равенство . Дифференцируя это равенство сначала по х, затем по у, получим . Из полученного равенства и определений плотности распределения для одной СВ и для системы двух СВ следует, что .

Пусть теперь выполняется равенство . Интегрируя это равенство по х и у, получим . Из формул, выражающих функции распределения через плотности, следует, что , т.е. СВ Х и Y независимы.

Теорема 2. Дискретные СВ Х и Y независимы в том и только в том случае, если при любых выполняется равенство

.

Из определения независимости и приведённых теорем следует, что зная законы распределения независимых СВ Х и Y, всегда можно найти закон распределения вектора . Если же СВ Х и Y зависимы, то знания их законов распределения недостаточно, чтобы найти закон распределения вектора .

Рассмотрим, далее, случайный вектор . Случайные величины называются независимыми, если выполняется равенство , где – функция распределения СВ ( ). Необходимым и достаточным условием независимости непрерывных СВ является выполнение равенства

,

где – плотность распределения СВ ( ). Условием независимости дискретных СВ является выполнение равенства

при любых .

3.4. Условные законы распределения св

Для того чтобы полностью охарактеризовать с вероятностной точки зрения случайный вектор , недостаточно знать закон распределения каждой из СВ Х и Y: нужно знать зависимость между этими СВ. Эта зависимость может быть описана с помощью условных законов распределения.

Рассмотрим дискретный случайный вектор . Если у – одно из возможных значений СВ Y, то условным рядом распределения СВ Х относительно значения будем называть совокупность условных вероятностей , , где – возможные значения СВ Х, упорядоченные по возрастанию. Аналогично определяется условный ряд распределения СВ Y относительно значения , где х – одно из возможных значений СВ Х. Если – возможные значения СВ Y, то в силу теоремы умножения вероятностей справедливы равенства

, , ,

где , и , . Из этих равенств вытекают формулы:

, , , . (1)

Пусть – произвольный случайный вектор, а у – одно из возможных значений СВ Y. Тогда условной функцией распределения СВ Х относительно значения называется функция

,

если Y – дискретная СВ, и функция

,

если Y – непрерывная СВ. Аналогично определяется .

Пусть, далее, – непрерывный случайный вектор и у – одно из возможных значений СВ Y. Тогда условной плотностью распределения СВ Х относительно значения называется функция . Аналогично определяется . Справедливы равенства , называемые формулой умножения плотностей распределения. Из этой формулы вытекают равенства

, . (2)

Из равенств (1) и (2) видно, что зная закон распределения вектора в виде ряда или плотности, всегда можно найти условные законы распределения СВ Х и Y. Из теорем о независимости двух СВ следует, что для независимых дискретных СВ Х и Y с возможными значениями и справедливы равенства

, , , ,

а для независимых непрерывных СВ Х и Y – равенства и . Кроме этого, для независимых СВ Х и Y имеет место и .

Задача. Плотность распределения непрерывного случайного вектора внутри квадрата , задана формулой , вне квадрата . Найти плотности распределения СВ Х и Y и их условные плотности распределения.

Решение. Из формулы, выражающей через , имеем

,

и , . Аналогично получим , и , .

Из формул для условных плотностей находим

, и , ;

, и , .

Условная плотность определена только при , условная плотность – при .