39

3. Случайные векторы

3.1. Понятие случайного вектора. Ряд распределения двумерного дискретного случайного вектора

На практике часто встречаются задачи, в которых результат опыта описывается не одним, а двумя или более числовыми значениями, заранее неизвестными. Примеры: точка попадания в мишень при выстреле характеризуется полярными координатами или декартовыми координатами ; осколок, образовавшийся при разрыве снаряда, характеризуется весом, размером, начальной скоростью и т.д.; результаты последовательных измерений меняющейся величины выражаются n числами. Подобные примеры приводят к понятию случайного вектора.оро0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Случайным вектором (или системой случайных величин) называется упорядоченный набор случайных величин , заданных на одном и том же вероятностном пространстве . Случайный вектор называется дискретным (непрерывным), если соответствующие СВ являются дискретными (непрерывными). Свойства случайного вектора не ограничиваются свойствами отдельных величин: они включают также взаимные связи (зависимости) между СВ.

Рассмотрим дискретный случайный вектор . Пусть и – упорядоченные по возрастанию возможные значения СВ Х и Y соответственно, а , , . Поскольку события , , попарно несовместны и образуют полную группу, то . Тогда под рядом распределения вектора понимается следующая таблица:

Y	Х
			...
			...
			...
...	...	...	...	...
			...

Вероятности отдельных значений СВ Х и Y определяются равенствами:

и .

Из этих равенств видно, что зная ряд распределения дискретного случайного вектора , можно найти ряд распределения каждой из СВ Х и Y.

3.2. Функция и плотность распределения случайного вектора

Пусть – двумерный случайный вектор. Тогда функция называется функцией распределения этого вектора. Она обладает следующими свойствами:

1⁰. .

2⁰. – неубывающая функция по каждому из аргументов.

3⁰. , .

Функции распределения и СВ Х и Y выражаются через следующим образом:

Из приведённых формул видно, что зная функцию распределения вектора , можно найти функцию распределения каждой из СВ Х и Y.

Пусть, далее, – непрерывный случайный вектор, а – его функция распределения. Тогда функция называется плотностью распределения (или плотностью вероятности) вектора . Она обладает следующими свойствами:

1⁰. .

2⁰. .

3⁰. .

4⁰. Вероятность попадания в двумерную область D произвольного вида вычисляется по формуле (предполагается, что интеграл в правой части равенства существует).

Пусть и – плотности распределения непрерывных СВ Х и Y соответственно. Если известна функция распределения случайного вектора , то

, ,

откуда

, .

Из приведённых формул видно, что зная плотность распределения вектора , можно найти плотность распределения каждой из СВ Х и Y.

Понятия функции и плотности распределения легко обобщаются на случай вектора :

,

.

Задача. Плотность распределения непрерывного случайного вектора задана формулой . Найти вероятность попадания в прямоугольник D, заданный неравенствами , , и функцию распределения .

Решение.

,

.