2.7. Биномиальное распределение

Дискретная СВ Х с возможными значениями называется распределённой по биномиальному закону, если её ряд распределения задаётся формулой

, ,

где и – параметры биномиального распределения и . Для биномиального закона , .

Данное распределение возникает в схеме Бернулли, где р – вероятность появления события А в одном испытании, Х – число появлений события А в n независимых испытаниях.

2.8. Распределение Пуассона

Дискретная СВ Х с возможными значениями называется распределённой по закону Пуассона с параметром , если её ряд распределения задаётся формулой

,

Для закона Пуассона .

Доказано, что биномиальное распределение при одновременном увеличении n и уменьшении р с сохранением постоянного значения неограниченно приближается к распределению Пуассона с параметром . Это означает, что при большом n и малом р вероятность , где Х – число появлений события А в n независимых испытаниях, может быть приближённо вычислена по формуле распределения Пуассона.

2.9. Геометрическое распределение

Дискретная СВ Х с возможными значениями называется распределённой по геометрическому закону, если её ряд распределения задаётся формулой

, ,

где – параметр геометрического распределения и . Для геометрического закона , .

Данное распределение возникает при повторных независимых испытаниях, где р – вероятность появления события А в одном испытании, Х – число испытаний, проведённых до первого появления события А.

2.10. Равномерное распределение

Непрерывная СВ Х называется равномерно распределённой на отрезке , если множество её возможных значений – отрезок , а вероятность попадания СВ Х на любой участок этого отрезка пропорциональна длине участка. Плотность и функция распределения равномерно распределённой СВ имеют вид:

Для равномерного распределения , .

2.11. Показательное распределение

Непрерывная СВ Х называется распределённой по показательному (экспоненциальному) закону c параметром , если множество её возможных значений – полупрямая , а плотность и функция распределения имеют вид:

Для показательного распределения , .

2.12. Одномерное нормальное распределение

Непрерывная СВ Х называется распределённой по нормальному закону (по закону Гаусса) с параметрами и , если множество её возможных значений – вся числовая прямая, а плотность вероятности определяется формулой

.

Для нормального закона используется обозначение , при этом , , а функция распределения задаётся формулой

,

где интеграл не выражается через элементарные функции. Графики плотности и функции распределения имеют вид:

Нормальный закон распределения называется стандартным, если и . Для стандартного нормального закона плотность вероятности имеет вид и обладает свойством , а функция распределения имеет вид и обладает свойством . Функции и называются, соответственно, функцией Гаусса и функцией Лапласа. Для нахождения их значений при различных х составлены таблицы.

Если в выражении для функции распределения СВ сделать замену , то получим . При имеем , а при имеем . Отсюда

,

т.е. функция распределения нормального закона с заданными параметрами m и  выражается через функцию распределения стандартного нормального закона.

Поскольку для непрерывной СВ , то для нормально распределённой СВ . В частности,

.

Это означает, что попадание нормально распределённой СВ Х на отрезок – практически достоверное событие. Данное свойство нормального распределения называется “правилом трёх сигма”.