9. Логико-вероятностные методы исследования надежности технических систем
Наиболее сложными задачами в исследовательских работах признаются такие, решения которых строятся на границе раздела двух и более сред. Одной из таких проблем является объединение логического анализа условий функционирования систем и математических методов расчета их параметров.
Логико-вероятностные методы (ЛВМ) –– особый раздел математики, связанный с логическими и математическими исчислениями. Привлекательность ЛВМ заключается в их четкости и больших возможностях выявления значимости отдельных элементов в общей структуре сложных технических систем.
История ЛВМ и их фундаментальные основы изложены в трудах профессора Рябинина И.А. [1, 2]. Оценивая роль логико-вероятностных методов с позиций современности, можно выделить три периода их развития:
- период прямого замещения логических переменных вероятностями, а логических операций соответствующими арифметическими операциями, что было допустимо только для простых структур;
- период разработки специализированных алгоритмов, позволяющих переходить от функций алгебры логики произвольного вида (с повторным составом элементов, наличием отрицаний некоторых аргументов) к форме перехода к полному замещению;
- период автоматизированного логико-вероятностного моделирования структурно-сложных технических систем большой размерности.
9.1. Некоторые сведения из основ алгебры логики.
Алгебра логики –– это раздел математической логики, изучающий логические операции над высказываниями. Ее основоположником является Джордж Буль, впервые применивший алгебраические методы для решения традиционных логических задач.
Логические операции позволяют из нескольких высказываний образовывать новые высказывания. В алгебре логики, где интересуются только истинностным значением высказываний, исследуется вопрос об истинностном значении сложного высказывания в зависимости от истинности значений составляющих его простых высказываний.
В алгебре логики принято истину обозначать числом 1, а ложь –– числом 0.
Каждой логической операции соответствует функция, принимающая значения 0 или 1, аргументы которой также принимают значения только 0 или 1. Такие функции называются логическими функциями (или булевыми функциями, или функциями алгебры логики).
Алгебра логики строится на нескольких простых операциях:
- конъюнкция (логическое умножение), обозначается знаком ;
- дизъюнкция (логическое сложение), обозначается знаком ;
- отрицание, обозначается знаком - ;
- эквивалентность, обозначается знаком ;
- импликация, обозначается знаком .
Перечисленные операции могут быть представлены таблицей
Таблица 9.1
Истинностная таблица функций алгебры логики.
x |
y |
x y |
x y |
|
x y |
x y |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
С помощью уравнений алгебры логики можно описать условия работоспособности или опасности системы. Уравнения ФАЛ показывают, из каких элементов (инициирующих условий) и какими соединениями можно обеспечить выполнение заданного технической системе назначения, а также оценить причины перехода системы в опасное состояние.