2. Некоторые характеристики случайных величин, событий, процессов в оценках надежности технических систем

2.1. Основные понятия, непосредственный подсчет вероятностей.

Если в результате опыта из общего числа случаев n число благоприятных для события A случаев составляет m, то вероятность реализации события A вычисляется по формуле:

(2.1) В теории надежности большую роль играет так называемая схема Бернулли. Предположим, что производится последовательно n испытаний, в каждом из которых событие А может произойти с одной и той же вероятностью р. Спрашивается, чему равна вероятность того, что событие А реализуется при m испытаниях, а при n-m испытаниях –– событие не произойдет.

Если обозначить эту вероятность через , и принять q=1-p, то имеет место формула Бернулли:

(2.2) где –– число сочетаний из n элементов по m.

Наряду с формулой Бернулли значительную роль играет схема, именуемая схемой невозвращенного шара. Если имеется N предметов, среди которых М обладают определенным отличием А, а остальные этим свойством не обладают, то при выборе n единиц наудачу из N предметов, вероятность того, что среди выбранных n предметов m будут отличаться свойством А, определяется формулой:

(2.3)

Задача 2.1.

Среди поставленных на испытания изделий имеются a исправных и b неисправных, (a2).

Найти вероятность того, что взятые наугад два изделия окажутся исправными.

Решение.

Общее число возможных случаев

Число благоприятных случаев

Вероятность события A –– оба изделия исправны:

Задача 2.2.

В партии, состоящей из k изделий, имеется l дефектных. Выбирается для контроля r изделий.

Найти вероятность того, что ровно s изделий будут с дефектами.

Ответ:

Задача 2.3.

Имеется две поставки конденсаторов. В первой поставке а исправных и b неисправных, во второй –– с исправных и d неисправных.

Из каждой партии выбирается по одному конденсатору.

Найти вероятность того, что оба конденсатора будут исправны.

Решение.

Каждый исправный конденсатор из первой партии может оказаться в паре с любым конденсатором из второй партии, таким образом, общее число возможных комбинаций конденсаторов при выборе двух штук из обеих партий равно:

Число благоприятных случаев m = ac

Вероятность того, что оба конденсатора будут исправны:

Задача 2.4.

В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что только один из выбранных наугад двух конденсаторов будет неисправен.

Ответ:

2.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Для несовместных событий:

(2.4) Для совместных событий:

(2.5) где Р(АВ) –– вероятность появления событий А и В одновременно.

Полной группой нескольких событий называется счетное множество событий, одно из которых непременно произойдет и не существует событий, выходящих за пределы рассматриваемого множества.

Если события A_l…..A_n несовместны и образуют полную группу событий, то:

(2.6) Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

(2.7) где –– событие, противоположное событию А.

Условной вероятностью события A при наличии события B называется вероятность события A, вычисленная при условии, что событие B произошло. Эта вероятность обозначается .

События A и B называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятность появления другого.

Для независимых событий

(2.8) Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого.

(2.9) Для независимых событий:

(2.10) Задача 2.5.

Партия изделий состоит из a исправных и b неисправных. Выбирается одно изделие, проверяется на исправность и возвращается в эксперимент. После этого из партии берется еще одно изделие.

Найти вероятность того, что оба изделия будут исправными.

Ответ.

Задача 2.6.

Над изготовлением изделия последовательно работают k рабочих. Качество изделия при передаче следующему рабочему не проверяется. Первый рабочий допускает брак с вероятностью p₁, второй –– p₂, и т.д.

Найти вероятность того, что при изготовлении изделия будет допущен брак.

Ответ:

Задача 2.7.

П рибор состоит из n последовательно соединенных блоков. Выход из строя каждого блока означает выход из строя прибора.

Блоки выходят из строя независимо друг от друга. Надежность (вероятность безотказной работы) каждого блока равна p. Найти надежность прибора в целом.

Какова должна быть надежность p₁ каждого блока для обеспечения заданного уровня надежности прибора P_тр ?

Ответ:

Задача 2.8.

Д ля повышения надежности прибора он резервируется двумя точно такими же приборами. Надежность (вероятность безотказной работы) каждого прибора равна p. При выходе из строя одного прибора он мгновенно заменяется другим.

Определить надежность системы из одного основного и двух дублирующих приборов.

Решение.

Отказ системы Q требует совместного отказа всех приборов

Тогда надежность Р_ прибора:

Задача 2.9.

Для повышения надежности прибора он дублируется точно таким же. Дублирующий прибор включается в работу в случае отказа основного с помощью переключающего устройства. Надежность основного и дублирующего приборов одинакова и равна р, надежность переключателя р₁. Определить вероятность безотказной работы системы.

Ответ:

Задача 2.10.

Для повышения надежности прибора он резервируется m другими точно такими же приборами, включенными «параллельно». Надежность каждого прибора равна p.

А. Вычислить надежность системы.

Б. Определить, сколько надо взять приборов, чтобы обеспечить заданную надежность P_тр системы в целом.

Ответ:

Задача 2.11.

В условиях задачи 2.10 для каждого дублирующего элемента применяется устройство переключения с одинаковой надежностью p₁.

А. Определить надежность системы.

Б. Найти требуемое число дублирующих элементов при заданной (требуемой) общей надежности системы P_tr .

Ответ:

Задача 2.12.

Техническая система состоит из n блоков, надежность каждого из которых равна р. Выход из строя хотя бы одного блока влечет за собой выход из строя всей системы.

С целью повышения надежности системы производится дублирование, для чего выделено еще n таких же блоков. Надежность переключающих устройств равна единице.

Определить, какой способ дублирования дает более высокую надежность системы:

а) дублирование каждого блока

б) дублирование всей системы

Решение.

Надежность Р_А системы, дублированной по способу а), определяется по формуле:

.

Надежность Р_Б системы, дублированной по способу б), имеет вид:

Покажем, что при любом n и 0 < p < 1 выполняется неравенство Р_А  Р_Б

Поскольку:

то достаточно доказать неравенство:

Положим , тогда исследуемое неравенство примет вид:

Применяя формулу бинома, и замечая, что все отрицательные члены разложения взаимно уничтожаются, получим:

Что и доказывает справедливость неравенства, а вместе с ним и заключение о более высокой надежности системы при дублировании каждого элемента в сравнении с дублированием всей системы.

Задача 2.13.

В технической системе дублируются не все элементы, а только наименее надежные. Надежности отдельных узлов представлены на схеме.

Определить надежность всей системы.

Ответ.

Задача 2.14.

Прибор состоит из трех блоков. В первом блоке n₁ элементов, во втором n₂ и в третьем n₃ . Для работы прибора безусловно необходим первый узел, два других узла дублируют друг друга. Надежность всех составляющих элементов одинакова и равна р. Выход из строя одного элемента адекватен выходу из строя соответствующего блока. Элементы выходят из строя независимо друг от друга.

Определить надежность прибора.

Решение.

Надежность первого блока

Надежность второго блока

Надежность третьего блока

Надежность дублированной системы, состоящей из второго и третьего блоков:

Надежность прибора: