6. Определение надежности технических систем при постоянно включенном резерве («горячее» резервирование).

6.1. Количественные показатели надежности резервированной системы с постоянно включенным резервом.

Будем исследовать надежность технической системы, состоящей из одного основного и m резервных устройств, т.е. содержащей m+1 устройство. При этом принимаются следующие допущения:

все устройства (основное и резервные) системы постоянно включены в работу и эксплуатируются в абсолютно одинаковых условиях нагружения;

отказ любого устройства не влияет на работу остальных работоспособных устройств;

отказ системы происходит в момент отказа последнего из (m+1) устройств;

в момент включения системы в работу (t=0) все устройства работоспособны;

все устройства (основное и резервные) абсолютно идентичны по показателям надежности;

отказы устройств представляют собой простейший поток случайных событий;

ремонт рассматриваемой технической системы невозможен.

Принятые допущения почти никогда не реализуются в практике, но они удобны для выводов основных показателей надежности технической системы, резервированной по способу постоянно включенного резерва.

Предполагая, что каждое устройство системы состоит из n элементов, отказы которых являются случайными и независимыми событиями, вероятность p_j(t) безотказной работы любого из (m+1) устройства можно принять равной произведению вероятностей безотказной работы его отдельных элементов:

(6.1) где p_ij(t) –– вероятность безотказной работы i-го элемента j-го устройства в течение времени t; n_j –– число элементов в j-м устройстве.

Учитывая принятую гипотезу об идеальности коммутаторов, вероятность отказа Q_C(t) технической системы будет равна:

(6.2) Если рассматривается система с однотипными устройствами, то все Q_j(t) равны между собой и можно принять обозначение:

(6.3) тогда вероятность отказа системы в течение времени t может быть определена выражением:

(6.4) где р(t) –– надежность одного (любого) устройства технической системы.

С учетом (6.1) можно записать:

(6.5) Формулы (6.2)…(6.5) просты и удобны при вычислении различных показателей надежности резервированной системы. Так, если задана надежность р(t) резервирующих устройств (включая основное), то можно найти необходимую кратность резервирования, чтобы обеспечить требуемую надежность Р_тр системы в целом:

из неравенства

(6.6) получим

(6.7) Например, для достижения требуемой надежности системы Р_тр= 0.99 к заданному моменту времени t при известных значениях надежности одного устройства р_j(t)  [0.1 , 0.8], число резервных устройств m (при общем их числе m+1) будет соответствовать данным табл. 6.1 и рис. 6.1.

Таблица 6.1.

Требуемая кратность резервирования

pj	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8
m (Pтр=0,99)	43	20	12	8	6	4	3	2
m (Pтр=0,95)	27	12	7	5	3	2	1	1

В свете принятой гипотезы о простейшем потоке отказов, выражение для определения надежности p_i(t) i-го элемента, входящего в состав одного из резервирующих устройств технической системы будет иметь вид:

(6.8) где _i –– интенсивность отказов i-го элемента устройства.

(6.9) где ₀ –– интенсивность отказов устройства (любого)

(6.10) С учетом выражений (6.8)…(6.10) надежность P_C(t) и ненадежность Q_C(t) системы, резервированной по способу «горячего» резерва и состоящей из одного основного и m резервных однотипных устройств могут быть вычислены по формулам:

(6.11)

(6.12) Среднее время Т_С безотказной работы системы определим из следующих рассуждений. В общем виде среднее время определяется как математическое ожидание случайной величины, имеющей плотность распределения f(t).

(6.13)

(6.14)

Введем обозначения

и применяем интегрирование по частям

Поскольку убывает при x   быстрее, чем возрастает x, следовательно,

(6.15) Окончательно получаем

(6.16) С учетом (6.11), получаем:

(6.17) Введем обозначение:

тогда после дифференцирования получим

откуда

при этом происходит изменение пределов интегрирования. При t=0 z_j=0. При t= z_j=1, и выражение (6.17) с учетом выкладок Приложения 1 приобретает вид:

(6.18) Далее

(6.19) Подставив пределы интегрирования, получим окончательное выражение для среднего времени безотказной работы системы, при «горячем» резервировании:

(6.20) Частота и интенсивность отказов резервированной системы вычисляется на основе выражений:

(6.21) Используя (6.11), (6.12), получим:

(6.22)

(6.23) Для высоконадежных систем, в случае выполнения условия:

(6.24) допустимо упрощение:

(6.25) Тогда выражения для вычисления основных количественных характеристик надежности резервированной системы с постоянно включенным резервом могут быть записаны в виде:

	(6.26)
	(6.27)
	(6.28)
	(6.29)

Рис. 6.2. Изменение надежности системы в зависимости от кратности резервирования m и параметра а=_jt

Р ис. 6.3. Зависимость показателя Т_а=_jТ_С от кратности

резервирования

Подводя итог, можно констатировать:

«горячее» резервирование повышает вероятность безотказной работы системы в сравнении с надежностью нерезервированной системы, причем с увеличением кратности резервирования надежность технической системы повышается;

среднее время безотказной работы резервированной системы с увеличением кратности резервирования растет медленно;

частота отказов резервированной системы вне зависимости от кратности резервирования имеет нулевое значение в начальный момент времени работы системы, имеет максимум и стремится к частоте отказов нерезервированной системы при достаточно больших значениях _jt; максимум функции находится в точке ;

интенсивность отказов резервированной системы также равна нулю в момент включения системы в работу и асимптотически приближается к интенсивности отказов нерезервированной системы при больших значениях _jt.

Р ис. 6.4. Изменение частоты отказов в течение времени эксплуатации системы при различной кратности резервирования и _j=0.015.

Рис. 6.5. Изменение интенсивности отказов системы в течение времени ее эксплуатации при различной кратности резервирования и _j=0.015.

Из приведенных выводов становится очевидным, что времена возникновения отказов резервированной системы нельзя отнести к стационарным потокам, хотя времена отказов резервных устройств являются простейшим потоком случайных событий. Это означает, что в общем случае среднее время безотказной работы и интенсивность отказов системы не равны соответственно среднему времени между соседними отказами и средней частоте отказов системы. Поэтому оценивать надежность резервированной системы с помощью среднего времени безотказной работы и интенсивности отказов системы можно только до первого ее отказа. Оценивать надежность резервированных систем длительного использования, работающих в режиме замены отказавших устройств следует на основе вычислений среднего времени между соседними отказами и средней частоты отказов, несмотря на то, что времена отказов резервных устройств удовлетворяют условиям простейшего потока случайных событий.