- •Оглавление
- •Основные сведения. Тригонометрические ряды Фурье для функций с периодом.
- •Тригонометрический ряд. Ряд Фурье.
- •Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье.
- •Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом 2π.
- •Тригонометрические ряды Фурье для функции любого периода.
- •Комплексная форма ряда Фурье.
- •Интеграл Фурье.
- •Интеграл Фурье для четной и нечетной функций.
- •Интеграл Фурье в комплексной форме.
- •Преобразование Фурье.
Комплексная форма ряда Фурье.
Пусть ƒ(x) – периодическая функция периода Т=2π, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, тогда ∞
ƒ(x)= a0 /2 + Σ (an cos(nx) + bn sin(nx))
n=1
при этом коэффициенты ряда определяются равенствами:
π
аn=1/π∫ ƒ(x) cos(nx)dx, (n=0,1,2,…)
-π π }
bn=1/π∫ ƒ(x) sin(nx)dx, (n=1,2,…)
-π
Преобразуем общий член ряда аn сos nx + bn sin nx с помощью формул Эйлера:
аn сos nx + bn sin nx= аn(e^(inx) + e^(-inx))/2 + bn(e^(inx) - e^(-inx))/2i= аn(e^(inx) + e^(-inx))/2 - ibn(e^(inx) - e^(-inx))/2=((аn - ibn)/2)e^(inx) + ((аn + ibn)/2)e^(-inx)
Если положить:
с0 = a0 /2, сn= (an - ibn)/2, с-n=(an + ibn)/2
или, что то же, _
с-n= сn
то общий член ряда Фурье запишется в виде:
аn сos nx + bn sin nx= сn e^(inx) + с-n e^(-inx)
и, таким образом, частная сумма ряда Фурье запишется так:
N N N
a0 /2 + Σ (an cos(nx) + bn sin(nx))= c0+ Σ (cn e^(inx) + c-n e^(-inx)=Σ cn e^(inx)
n=1 n=1 n=-N
Переходя в этом равенстве к пределу при N→+∞ и обозначив
N +∞
lim Σ сn e^(inx)=Σ сn e^(inx)
N→+∞ n= -N -∞
получим:
N N +∞
ƒ(x)=lim[a0 /2 + Σ (an cos(nx) + bn sin(nx))]= lim Σ сn e^(inx)= Σ сn e^(inx)
N→+∞ n=1 N→+∞ n= -N -∞
т.е. +∞
ƒ(x)= Σ сn e^(inx) (1)
-∞
Найдем теперь выражения для коэффициентов сn. Действительно, если учесть выражения для аn и bn, то получим:
π π π
сn=(an - i bn)/2=1/2(1/π ∫ ƒ(x) cos(nx)dx – i(1/n )∫ ƒ(x) sin(nx)dx)=1/2π ∫ ƒ(x)(cos(nx) –
π -π -π -π
isin(nx))dx=1/2π ∫ ƒ(x) e^(-inx)dx
-π
т.е. π
cn=1/2π∫ ƒ(x) e^(-inx)dx (n=1,2,…)
-π π
c0= a0 /2=1/2π ∫ ƒ(x)dx
-π
π π π
c-n=(an - ibn)/21/2(1/π ∫ ƒ(x) cos(nx)dx + i(1/n )∫ ƒ(x) sin(nx)dx)=1/2π ∫ ƒ(x)(cos(nx) +
π -π -π -π
isin(nx))dx=1/2π ∫ ƒ(x) e^(inx)dx (n=1,2,…)
-π
Нетрудно видеть, что при всех целых n справедливо равенство
π
cn=1/2π∫ ƒ(x) e^(inx)dx (n=0, ±1, ±2,…) (2)
-π
при этом интегрирование можно вести по любому отрезку длины 2π.
+∞
Выражение Σ cn e^(inx) называется комплексной формой ряда Фурье функции ƒ(x),
-∞
если сn определяется равенством (2).
Комплексная форма ряда Фурье периодической функции периода Т=2l.
Пусть ƒ(x) – периодическая функция периода Т=2l удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье. Тогда подстановка х=(l/π)t приводит к функции ƒ(lt/π) на период 2π, разложимой в ряд Фурье. Для такой функции по формулам (1) и (2) имеем:
∞ π
ƒ(lt/π)= Σ cn e^(int), где cn=1/2π ∫ ƒ(de/π) e^(-int)dt
-∞ -π
Переходя к аргументу х с помощью подстановки t=πx/l, получим:
∞
ƒ(x)= Σ cn e^(inπx/l) (3)
-∞
при этом l
cn=(1/2π)(π /l) ∫ ƒ(x) e^(-inπx/l)dx
или окончательно -l
l
cn=1/2l ∫ ƒ(x) e^(-inπx/l)dx (4)
∞ -l
Выражение Σ cn e^(inπx/l), называется комплексной формой ряда Фурье функции ƒ(x),
-∞
если сn определяется равенством (4).