9. Определение функции.
F называют функцией , если каждому допустимому значению х из обл опред соответствует единственное значение у из обл знач .
Правило (закон) соответствия между множествами X и y, по которому для каждого элемента из множества X можно найти один и только один элемент из множества y, называется функцией.
Функцией называется соответствие между множествами А и В, при котором каждому элементу множества А соответствует не более одного элемента множества В.
В
ведем
обозначения:
f:
А ®
В или
.
Тогда, например, f(а)
= 1, f(b)
= 2 .. 1 – образ элемента а; а – прообраз
элемента 1 и т. д.
{
a,
b,
c,
e}
= Df
Ì
А – область определения функции f;
{1, 2, 3} = Ef
Ì
B – область значений этой функции. То
есть, область определения функции –
множество прообразов, область значения
функции – множество образов.
О
тображение
называется инъекцией (или вложением,
или взаимно однозначным отображением
в множество Y), если разные элементы
множества X переводятся в разные элементы
множества Y. Формально это значит, что
если два образа совпадают, то совпадают
и прообразы . решение может не
существовать,но если оно существует то
оно единственно
Отображение
называется сюръективным (или сюръекцией,
или отображением на Y), если каждый
элемент множества Y является образом
хотя бы одного элемента множества X, то
есть
. реш всегда существует
Функция называется
биекцией (и обозначается )
,
если она:
Переводит разные
элементы множества X в разные элементы
множества Y (инъективность). Иными
словами,
.
Любой элемент
из Y имеет свой прообраз (сюръективность).
Иными словами,
.
существует и оно единственно
Биекцию также называют взаимно однозначным отображением.
10. Определение и свойства функции, обратной к функции f. Методика введения обратной функции в школьном курсе математики
Понятие обратной функции не имеет аналогов, поэтому приходится вводить их посредством явного определения. Роль обратной функции велика. Использование обратной функции необходимо для введения большого количества классов основных элементарных функций: корня k-й степени, логарифмической , обратных тригонометрических функций. При изучении обратной функции выясняется зависимость ее монотонности от монотонности исходной функции – это необходимо для того, чтобы обосновать существование обратной функции и подробно рассматривать взаимное расположение графиков данной и обратной функций.
Преподаватель может подвести учащихся к понятию обратной функции, поставив новую для учащихся познавательную задачу. На основе усвоенного учениками важного представления, входящего в понятие функции,— однозначности соответствия аргумента и определенного по нему значения функции провести следующее рассуждение:
«Каждому допустимому значению переменной x равенство y=f(x) ставит в соответствие вполне определенное значение переменной величины y. Однако в некоторых случаях соотношение y=f(x) можно рассматривать и как такое равенство, которое каждому допустимому значению переменной величины y ставит в соответствие вполне определённое значение переменной величины x.» Равенство y=2x-1 каждому значению y ставит в соответствии следующее значение x: x=(y+1)/2. например при у=1 х=1; при у=2 х=1,5; при у=3 х=2 и так далее. Поэтому можно сказать что равенство y=2x-1 определяет х как некоторую функцию переменной величины у. В явном виде эта функция записывается таким образом: : x=(y+1)/2.
«Если в каждом случае обозначить независимую переменную буквой х, а зависимую переменную буквой у, то получим формулы: y=f(x), и х=φ(у) во второй формуле у выступает в качестве аргумента, а х – в роли функции. Переписав в привычном виде мы получим у=φ(х). Определенная таким образом функция у=φ(х) называется обратной по отношению к функции y=f(x).
Способы задания функции. График функции. Свойства графиков инъекции, сюръекции, биекции.
Т.е графиком функции называется множество точек координатной плоскости, абсциссы которых являются значениями аргумента, а ординаты- соответствующими им значениями функции. Или:
Графиком функции y = f(x) называют множество точек координатной плоскости хОу вида (x; f(x)), где х - любое число из области определения функции