I,. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принад­лежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

12. Через любые две точки можно провести прямую, и толь­ко одну.

№38. Методика изучения параллельности прямых и плоскостей.

Наряду с обычными целями обучения геометрии здесь большую роль играет цель формирования у учащихся пространственного представления и воображения.

Содержание: определения параллельных и скрещивающихся прямых в пространстве, теорема о существовании и единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, транзитивность параллельности прямых, параллельность прямой и плоскости (определение и признак), параллельность плоскостей (определение и признак), изображение пространственных фигур на плоскости.

Методика изучения определения параллельных и скрещивающихся прямых построена с помощью логической операции отрицания: “Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются”. “Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися”. Точный смысл понятий: “прямые не пересекаются”, “прямые не лежат в одной плоскости” может быть получен с помощью операции отрицания понятий “прямые пересекаются”, “прямые лежат в одной плоскости”.

№39. Методическая схема изучения теорем и их доказательств :

1. подвести учащихся к теореме, сформулировать ее;

2. выполнить рисунок, краткую запись теоремы;

3. сообщать общую идею теоремы;

4. привести план доказательства;

5. предоставить учащимся возможность самостоятельно осуществить док-во;

6. осуществить доказательство (ученик);

7. закрепить доказательство путем его воспроизведения;

8. применить теорему к решению задач.

Подведение учащихся к теореме: на стол положим спицу а₁, вторую спицу положим так, чтобы она была параллельна спице а₁.

Вопрос: что можно сказать о взаимном расположении спицы а и поверхности стола?

После опыта задается вопрос: Какую теорему можно сформулировать?

40. Методика изуч перепенд прямых и плоскостей

Методическая схема изучения признака перпендикулярности прямой и

1. подвести учащихся к признаку, сформулировать его;

2. выполнить рисунок, краткую запись теоремы;

3. сообщать общую идею доказательства теоремы;

4. выполнить доп. построения;

5. сообщать идею доказательства теоремы в более конкретной форме ;

6. привести план доказательства;

7. изложить доказательство ;

8. закрепить доказательство по частям;

9. воспроизведения доказательства полностью;

№41. Метод схема изучения призн перпенд прямой и плоскости

Содержание: определения: перпендикулярных прямых, перпендикулярных прямой и плоскости, перпендикуляра к плоскости, расстояние от точки до плоскости, наклонной, прямоугольной проекции наклонной, перпендикулярных плоскостей, теоремы о перпендикулярных прямых, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорем о связи между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей в пространстве, теорема о трех перпендикулярах, теорема о перпендикулярных плоскостях.

Т.к. в учебнике Погорелова не вводится понятие о перпендикулярных скрещивающихся прямых то: пряма а, пересекающая плоскость , называется перпендикулярной к плоскости , если она перпендикулярна к любой прямой в плоскости , проходящей через точку пересечения прямой а с плоскостью .

Согласно определения к плоскости проводим прямую, кот. пересекает ее в некоторой точке А. В этой плоскости найдется прямая, проходящая через точку пересечения.

Если эта прямая перпендикулярна к данной прямой, то ее называют перпендикулярной к плоскости. По рисунку куба попросить учащихся обозначить ребра куба, перпендикулярные к плоскостям AA₁BB₁, ABCD, D₁C₁CD, и назвать плоскости, которым перпендикулярны ребра C₁D₁, A₁D₁, BC.

В₁ C₁

B C

A₁ D₁

A D

Признак перпендикулярности:

Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна к двум прямым в этой плоскости, то она перпендикулярна к плоскости.

Сформулировать эту теорему учащиеся смогут сами, используя приведенную выше задачу (например, ребро А₁D₁ перпендикулярно к плоскости DD₁C₁ => А₁D₁DD₁ и А₁D₁D₁С₁ т.е. двум прямым лежащим в этой плоскости).

Методическая схема изучения признака перпендикулярности прямой и плоскости.

9. подвести учащихся к признаку, сформулировать его;

10. выполнить рисунок, краткую запись теоремы;

11. сообщать общую идею доказательства теоремы;

12. выполнить доп. построения;

13. сообщать идею доказательства теоремы в более конкретной форме ;

14. привести план доказательства;

15. изложить доказательство ;

16. закрепить доказательство по частям;

9. воспроизведения доказательства полностью;

№42. Общее понятие величины. Пример построения теории величин.

Измерение геометрических величин – одна из основных линий школьного курса геометрии, которая знакомит учащихся с важными идеями, понятиями и методами метрической геометрии. Измерение геометрических величин связано с идеей аксиоматического метода, теорией действительного числа, методами математического анализа. Знакомство учащихся с различными формулами расширяет возможности применения в школьном курсе геометрии аналитического метода. Главная особенность изложения материала – сочетание различных математических идей и методов, например, в теме «Площади фигур» используется традиционно-синтетический и аналитический методы.

Программа 1981г.(базисная) следующим образом определяет содержание темы по классам:

• -начальная школа: примеры величин(длина, площадь, масса, стоимость); единицы их измерения; примеры зависимостей между величинами(путем, скоростью и временем; площадью и длинами сторон прямоугольника и т. д.);

• -в 5-6 классах: примеры величин(длина, площадь, объем, градусная мера угла); единицы измерения длин, площадей, объемов и углов; массу тел; площадь прямоугольника, прямоугольного треугольника, объем прямоугольного параллелепипеда, формулы длины окружности и площади круга.

• -в 7-9 классах: понятие о площади, основные свойства площади, площадь прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции, отношение площадей подобных фигур, площадь круга и его частей, решение задач на вычисление неизвестных длин, углов и площадей;

• -в 10-11 классах: понятие об объеме, основные свойства объема, объемы многоугольников: прямоугольного параллелепипеда, призмы, пирамиды; объемы тел вращения: цилиндра, конуса, шара; площади сферы.

№43. Теория измерения длин отрезков

‘Школьная’ теория измерения геометрических величин должна строиться с сохранением некоторой общей схемы. Это относится прежде всего к определения понятий : «длины», «площадь», «объем».Повторение одной и той же схемы определения способствует обобщению, формирования такого представления : из аналогии вытекает, что эти понятия относятся к одному более общему понятию, связывающему их. Раскрытие этой связи в процессе обучения способствует более глубокому пониманию и прочности знаний. Каждое из трёх понятий определятся как вещественное число, удовлетворяющее условиям, которые характеризуют общие понятия меры множества.

Например, теория измерения длины отрезков может быть построена по такой схеме :

• Определение длины отрезка как вещественного числа, удовлетворяющего условиям 1)-4) понятия меры;

• Описание процедуры измерения отрезка;

• Установление существования и единственности длины отрезка при данном выборе единицы измерения с использованием аксиомы Архимеда;

• Установления существования отрезка, длина которого при данном выборе единицы измерения ровна любому, наперед заданному положительному числу(с использованием аксиомы Кантора, геометрического эквивалента аксиомы непрерывности).

Разъяснение учащимся старших классов сущности аксиомы Кантора не представляет особых трудностей. Это можно сделать именно в связи с установлением свойства 4.

44. Методика введения понятия «простая» фигура. Методическая схема доказательства свойства площадей прямоугольников.

«Площадь простой фигуры – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

1. равные фигуры имеют равные площади;

2. если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей;

3. площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице;

45. Различные подходы к изучению вопроса измерения геометрических величин в курсе стереометрии.

Измерение геометрических величин - одна из основных содержательных линий школьного курса геометрии, которая знакомит учащихся с важными идеями, понятиями и методами метрической геометрии. Измерение геометрических величин связано с идеей аксиоматического метода, теорией действительного числа, методами математического анализа. При изучении данного вопроса учащиеся знакомятся с целым рядом формул, с помощью которых расширяются возможности применения в школьном курсе геометрии аналитического метода. Сочетание различных математических идей и методов - главная особенность в изложении данного учебного материала.

При изучении темы «Площади фигур» используется такая схема:

простая фигура - площадь фигуры как величина - площадь прямоугольника - площадь параллелограмма - площадь трапеции - площадь подобных фигур.

В изучении темы «Объемы тел» в курсе стереометрии прослеживается аналогия с темой «Площади фигур» и распределение учебного материала такое: простое тело - объем тела как величина - объем прямоугольного параллелепипеда - объем треугольной призмы - объем призмы - тела, имеющие равные объемы - объем полной треугольной пирамиды - объем произвольной полной пирамиды - объем усеченной треугольной пирамиды - объем произвольной усеченной пирамиды - объемы подобных тел - объем тел вращения.