- •Введение Векторы и операции над ними.
- •Операции первого порядка (дифференциальные характеристики поля).
- •Операции второго порядка.
- •Интегральные соотношения теории поля. Поток векторного поля.
- •1.4.2. Циркуляция вектора поля.
- •Формула Стокса.
- •Формула Остроградского – Гаусса.
- •1 Сновные понятия и определения
- •2. Элементы кинематики жидкости
- •3. Основные уравнения динамики несжимаемой жидкости
- •3.1. Силы в жидкости
- •3.2. Уравнение движения в напряжениях
- •3.3. Уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости (уравнение Навье—Стокса)
- •3.4. Уравнение энергии
- •4. Гидростатика
- •4.1. Основное уравнение гидростатики (уравнение Эйлера)
- •4.2. Равновесие жидкости в гравитационном поле
- •4.3. Сообщающиеся сосуды
- •4.4. Равновесие жидкости в центробежном поле
- •4.5. Сила давления на плоскую поверхность тела
- •4.6. Сила давления на цилиндрическую поверхность тела
- •4.7. Закон Архимеда
- •5. Динамика идеальной жидкости
- •5.1. Уравнение движения идеальной жидкости (уравнение Эйлера)
- •5.2. Уравнение Бернулли для плоского установившегося течения
- •5.3. Плоские потенциальные течения
- •6. Общие закономерности динамики вязкой жидкости
- •6.1. Два режима течения
- •6.2. Уравнение турбулентного течения несжимаемой жидкости (уравнение Рейнольдса)
- •6.4. Решение задач гидродинамики методом теории подобия
- •6.5. Ламинарное безнапорное течение Куэтта
- •6.6. Равномерное ламинарное течение в плоском канале
- •6.7. Ламинарное течение в плоском клиновидном зазоре
- •6.8. Ламинарное течение в круглой трубе
- •6.9. Турбулентное безнапорное течение Куэтта
- •6.10. Сопротивление гидравлически гладких труб при турбулентном режиме течения жидкости
- •6.11. Сопротивление гидравлически шероховатых труб при турбулентном режиме течения жидкости
- •6.12. Ламинарное обтекание шара (задача Стокса) |
- •6.13. Уравнения пограничного слоя
- •6.14. Интегральное соотношение пограничного слоя
- •6.15. Ламинарный пограничный слой на полубесконечной пластине
- •6.16. Турбулентный пограничный слой на полубесконечной пластине
- •6.17. Струйное течение
- •7. Одномерные течения вязкой жидкости
- •7.1. Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости
- •7.2. Уравнение Бернулли для сети с насосом
- •7.3. Гидравлические потери по длине
- •7.4. Гидравлические потери на местных сопротивлениях
- •7.5. Приборы для измерения скоростей и расходов
- •7.6. Истечение жидкости
- •7.7. Поле скоростей и давлений в циклонном устройстве
- •7.8. Вторичные токи в реальной жидкости
- •7.9. Гидравлический удар в трубах
- •7.10. Высота всасывания центробежного насоса
- •7.11. Высота всасывания поршневого насоса
- •7.12. Трубопровод с путевым расходом
4.6. Сила давления на цилиндрическую поверхность тела
Силы давления, действующие на элементы криволинейной поверхности, необходимо суммировать геометрически:
, (4.16)
где — единичный вектор, направленный по внутренней нормали к поверхности.
Вычислим горизонтальную составляющую Рх силы Р. Для этого спроектируем (4.16) на ось х:
. (4.17)
Здесь ds, — проекция ds на вертикальную плоскость. Подставив в (4.17) уравнение (4.9), после интегрирования найдем
Px= (p0+ghc)Sx.
П о аналогии с предыдущей задачей найдем положения линий действия составляющих Рох и Ргх: сила Рох приложена в центре тяжести площади sb на вертикальную плоскость, сила Ргх приложена в точке DB (рис. 4.9):
,
Спроектируем слагаемые уравнения (4.16) на вертикальную ось z:
где
где
где
С учетом (4.9) получим
Pz=p0Sz+gW,
Где — объем тела давления, т. е. объем, заключенный между криволинейной поверхностью, поверхностью уровня с давлением ра и вертикальными проектирующими поверхностями, проведенными через контур s.
Составляющая силы Pгz= приложена в центре тяжести объема W и направлена вниз в том случае, если в объеме тела давления находится жидкость, и вверх, если в W нет жидкости. Составляющая PZ0=PoSг проходит через центр жидкости sr.
4.7. Закон Архимеда
dP1z=gh1sr
и
dP2z=gh2sr.
Результирующая сила направлена вверх и равна
dPz =dP2z—dPlz= (h2—h1)dsг=gdW,
где dW — объем тела, отсекаемый элементарным цилиндром.
Просуммировав силы по всей поверхности тела, найдем, что
Pz=gW,
где W — объем тела, погруженного в жидкость.
5. Динамика идеальной жидкости
5.1. Уравнение движения идеальной жидкости (уравнение Эйлера)
Поскольку идеальная жидкость имеет v ==0, то уравнения (3.10) и (3.10') примут соответственно вид
(5.1)
и
(5.1’)
Уравнения (5.1) и (5.1')—это уравнения Эйлера для движущейся идеальной жидкости.
5.2. Уравнение Бернулли для плоского установившегося течения
Движение называется плоским, если линии тока лежат в плоскости и не изменяют своей конфигурации при параллельном переносе этой плоскости.
Если, например, линии тока лежат в плоскости xz, то uy=0 и система уравнений (5.1') примет вид
(5.2)
При установившемся движении и для расчета ускорений в (5.2) можно применить зависимости (см. уравнения 2.8):
(5.3)
Выясним, при каких условиях уравнения (5.2) можно представить в виде полного дифференциала некоторой функции, т. е. установить их общее решение. Для этого умножим построчно уравнения (5.2) на dx и dz и сложим. Получим
, (5.4)
где выражение dФ = Xdx+Zdz справедливо в случае, когда поле массовых сил потенциально.
Подставим в (5.4) выражения (5.3). Прибавим к левой части и вычтем из нее слагаемые и . После некоторых преобразований получим
. (5.5)
Итак, искомое условие выполняется тогда, когда второе слагаемое в (5.5) равно нулю, т. е. в двух случаях:
Сомножитель uzdx—uxdz=0 или , т. е. в случае, когда интегрирование (5.5) приводится вдоль линии тока (см. уравнение 2.1).
2. Сомножитель (см. уравнение (2.19)), т. е. отсутствует вращательное движение жидкостных частиц (такое движение называется безвихревым или потенциальным).
При выполнении условий 1 или 2 уравнение (5.5) можно записать в виде
, (5.6)
т. е. в идеальной жидкости при течении вдоль линии тока или в случае безвихревого движения во всем пространстве выполняется условие
. (5.7)
Для гравитационного поля и при вертикальном расположении оси z Х=0; Z=—g, т. е. dФ=Xdx+Zdz=—gdz или Ф = — gz+C1.
С учетом этого выражения уравнение (5.7) можно записать в виде
. (5.8)
Уравнение (5.8) — это уравнение Бернулли. Поясним энергетический смысл уравнения Бернулли.
С учетом пояснений, данных при анализе уравнения (4.8), z — удельная потенциальная энергия положения, p/(pg) — удельная потенциальная энергия давления. В уравнении (5.8) третье слагаемое , т. е. представляет собой отношение кинетической энергии к весу жидкостной частицы, или удельную кинетическую энергию. Следовательно, сумму всех трех слагаемых можно назвать удельной полной энергией:
. (5.9)
В такой интерпретации уравнение (5.8) — это уравнение сохранения механической энергии.