3. Основные уравнения динамики несжимаемой жидкости

3.1. Силы в жидкости

Силы, действующие в жидкости, принято разделять на два вида.

Силы массовые — это силы, пропорциональные массе жидкости, к которой сила приложена. Примером таких сил является сила инерции F=ma. При составлении уравнений динамики жидкости применяется понятие плотность массовых сил или единичная массовая сила, под которым понимают отношение

Для инерционных сил F=a. Размерность [F| = м/c². Вектор F может быть представлен в виде

где X, У, Z — проекции единичной массовой силы F на оси координат.

Силы поверхностные — это силы, пропорцио­нальные поверхностям, на которые они действуют. Плот­ность поверхностных сил на площадке с нормалью п назы­вается напряжением и определяется выражением

Напряжение р_п может быть разложено на нормальную s_n и касательную t_n к площадке составляющие. Компоненты напряжения на площадках, нормальных к координатным осям, называются основными. Так, например, напряже­ние на площадке с нормалью, совпадающей с направлением оси х«p_x, может быть выражено через основные компонен­ты напряжения в виде

по аналогии

Первый индекс указывает направление нормали к пло­щадке, второй — ось, на которую спроектировано напряже­ние . Компонент напряжения считается положительным, если его направление и направление внешней нормали к пло­щадке совпадают (или оба направления не совпадают) с на­правлениями осей координат. На рис. 3.1 показаны положи­тельные направления компонентов напряжения при плоском напряженном состоянии.

Рис. 3.2

Итак, существует всего девять основных компонентов на­пряжений. Обычно их представляют в виде матрицы:

(3.1)

и называют тензором напряжений.

Тензор напряжений симметричен относительно главной диагонали (примем без доказательства), т. е.

t_xy =t_yx, t_yz =t_zy, t_zx =t_xz,

и независимо от ориентации координатных осей

s_x+s_y+s_z = const.

Установим взаимосвязь напряжения р_п с основными компонентами напряжений. Для этого применим теорему об изменении количества движения к элементарной массе жидкости, имеющей форму тетраэдра (рис. 3.2) с ребрами dx, dy, dz:

где — главный вектор внешних сил представлен в виде суммы массовых _m H поверхностных _s сил.

Массовые силы _m этого равенства и количество движения пропорциональны массе жидкости, т. е. величине 1/6dxdydz. Поверхностные силы, например, на площадке ds_x нормальной оси х

на порядок больше массовых. Следовательно, в уравнении (3.2) можно пренебречь слагаемыми, пропорциональными массе элементарного тетраэдра. Тогда получим =0 или ds_n+ ds_x+ ds_y+ ds_z=0.

Разделим это выражение почленно на ds_n. Поскольку

, , ,

получим

или в проекциях на координатные оси

(3.3)

Давлением в движущейся жидкости называется величина

(3.4)

т.е. среднеарифметическое значение сжимающих нормальных основных компонентов напряжений.

Если ньютоновская жидкость находится в покое, то в ее соответствии с уравнением (1.2) в ней не могут возникнуть касательные напряжения, т. е . В этом случае первое из уравнений (3.3) примет вид , но p_nx – проекция на ось х, т.е. . Приравняв два последних выражения, найдем, что . По аналогии можно показать, что и .

Это означает, что в покоящейся жидкости напряжения не зависят от ориентации площадки, а давление в ней p = -p_n=-s_x=-s_y=-s_z .

Закон внутреннего трения в обобщенной форме. Это эмпирический закон, устанавливающий связь компонентов тензора скоростей деформаций (2.20) и тензора напряжений (3.1).

Представим выражение (3.1) в виде ,

где

, .

Тензор Т₁ обладает теми же свойствами, что и тензор (2.20), т. е. он симметричен относительно главной диагонали, а сумма элементов главной диагонали с учетом определения (3.4) равна нулю.

Простейшая форма связи матриц Т₁ и S — прямая пропорциональность и определяет закон внутреннего трения для ньютоновской жидкости:

,

или в развернутом виде

(3.5)