6.13. Уравнения пограничного слоя

В теории пограничного слоя применяется упрощенное математическое описание, позволяющее с достаточной для практики точностью решать различные задачи гидродинамики. Суть ее состоит в следующем.

Поток жидкости, взаимодействующий с твердым телом, потенциален за исключением пристенного слоя, в котором жидкость заторможена за счет вязкостных сил трения. Этот слой и называется пограничным слоем. Малая толщина пограничного слоя  позволяет решать задачи о течении в нем жидкости, выбрав координату х вдоль границы обтекаемой поверхности, а у — нормально к ней. Скорость и_х претерпевает преимущественное изменение вдоль оси у.

Поэтому можно принять . На внешней границе пограничного слоя принимают р и и_х=U подчиняются уравнению Бернулли (5.8) для потенциального потока:

С учетом приведенных допущений уравнение (3.10) в проекции на ось х в случае плоской задачи и при Х=0 примет вид

6.52

Система уравнений (6.52) и (2.13), предложенная Прандтлем, в ряде случаев аналитически решаема.

6.14. Интегральное соотношение пограничного слоя

Уравнение (6.52) представим в виде

6.53

Проинтегрируем каждое из слагаемых по толщине слоя по известному правилу

Получим с учетом того, что при y=0 и_х=и_у=0 и при y= u_x=U,

где — касательное напряжение на стенке;

6.54

6.55

Интегральное соотношение примет вид

6.56

Величина определяемая выражением (6.55), называется толщиной вытеснения. Она определяет, насколько смещаются линии тока основного потока из-за уменьшения скоростей в пограничном слое (рис. 6.12). Поскольку расходы через сечения ab и cd должны быть равными, то можно записать

или

Из этого выражения и получается (6.55).

Величина ₂ определяемая выражением (6.54), называется толщиной потери импульса.

Рис. 6.12. Пограничный слой на полубесконечной пластинке: 1 — граница пограничного слоя; 2 — линия тока

Отметим, что скорость и_х асимптотически переходит в U, т. е. граница слоя  принимается условно, например при 0,99U Толщины же ₁и ₂ не зависят от условий назначения , их значения вполне определенны.

Проиллюстрируем применение интегрального соотношения при решении одной из простейших задач.

6.15. Ламинарный пограничный слой на полубесконечной пластине

При продольном обтекании пластины (см. рис. 6.12) скорость в потенциальном потоке U=const, т. е. U не зависит от х. Поэтому уравнение (6.56) примет вид

6.57

Предполагаем, что профиль скоростей в пограничном слое может быть представлен в виде . Выбор функции f произволен, но f должна удовлетворять условиям: при у=0 и_х=0; при у= u_x=U, . Если принять, что то с учетом приведенных условий найдем a₀ = 0; a = 2; a₂=-1,

т. е.

6.58

Подставим (6.58) в (6.54), получим

6.59

С учетом (6.58) вычислим и

6.60

После подстановки (6.59) и (6.60) в (6.57) получим простое дифференциальное уравнение

интегрирование которого при начальном условии =0 при x=0 позволяет найти

6.61

Для расчета касательных напряжений принята форма

6.62

где С_х — локальный коэффициент сопротивления.

Решим (6.62) относительно С_х с учетом (6.60), получим

6.63

где = -локальное число Рейнольдса.

Полную силу трения Т при двухстороннем обтекании пластины длиной l и шириной В можно вычислить по формуле