25. Сформ теоремы Лагранжа и Коши для дифференцируемых ф-й. Проверьте справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке .

Теорема Коши:

Пусть ф-ции и непрерывны на отрезке [a;b], дифференцируемы на интервале (a;b) и , тогда существует точка такая, что .

Домножим левую часть уравнения на

Получили теорему Лагранжа. Теорема Лагранжа – это частный случай т. Коши, когда .

Теорема Лагранжа:

Пусть функция непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b), то существует точка такая, что

Пример: y = f(x) =1/x на [-2; 2]

1. функция не является непрерывной на отрезке [-2; 2]

Следовательно теорема Лагранжа не выполняется.

26. Сформулируйте теоремы Ферма и Ролля для дифференцируемых функций. Покажите, что функция удовлетворяет условиям теоремы Ферма на и найдите соответствующее значение х = с на .

Теорема (Ферма). Пусть f(x) определена и дифференцируема на некотором интервале (a;b) и в точке c (a;b) принимает наибольшее (наименьшее) значение. Тогда .

Теорема (Ролля). Если ф-я f(x) непр-на на отрезке [a, b], дифф-ема на интервале (а, b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b), то на интервале (а, b) существует точка с, a < с < b, в которой производная функция f(x) равная нулю, т.е. f(с) = 0.

Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале (a, b) существует точка с такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.

Парабола определена и дифференцируема на заданном участке, а также имеет максимум в своей вершине (y_max=4). , откуда, согласно теореме, х=1.

Сформулируйте теоремы Ферма и Ролля для дифференцируемых функций. Проверьте справедливость теорема Ролля для функции на отрезке .

Пример: непрерывна на заданном отрезке, дифференцируема на заданном интервале, а

Значит в заданном интервале существует по крайней мере одна точка с, в которой производная функции обращается в нуль: .

Причем . Все условия теоремы Ролля выполнены.

27. Сформ теоремы Ферма и Ролля для дифференцируемых функций. Проверьте справедливость теорема Ролля для функции на отрезке .

Пример: Функция на концах отрезка [0, 8] принимает равные значения . . При , не существует. Нарушено условие теоремы Ролля.

28. Сформулируйте правило Лопиталя. Докажите первый и второй замечательные пределы с помощью правила Лопиталя.

Вначале отметим, что к разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:

Теорема (правило Лопиталя). Если ф-и f(x) и g(x) дифф-емы в вблизи точки а, непр-ны в точке а, g(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отн-ия ф-й при ха равен пределу отн-я их производных, если этот предел (кон-й или беск-й) сущ-ет.

Первый предел. Док-во (правило Лопиталя):

Второй замечательный предел.

Доказательство (правило Лопиталя и свойство ):

, ч.т.д.