Введение.

В процессе проектирова­ния глобальной многофункциональной информационно ­вычислительной сети отраслевого масштаба, охватывающей предприятия отрасли, расположенные в ряде регионов страны, для оценки показателей пропускной способности сети с исполь­зованием методов математического моделирования к числу ос­новных задач относится задача сбора и обработки исходных дан­ных для математических моделей сети. В составе исходных данных должны быть определены параметры потоков заявок на обслуживание. Для рассматриваемой проектируемой системы руководство предприятий-пользователей сети представило дан­ные по требуемым объемам информации, которые в течение ра­бочего дня должны передаваться по определенным направлени­ям передачи информации в сети и по определенным функциям, выполняемым сетью. Определены были также средние объемы передаваемых файлов по различным направлениям сети и функ­циям, выполняемым сетью. По каждой функции и направлению сети интенсивность потока заявок определяется формулой:

, (1/сек) (1)

где

V - требуемый объем информации в Кбайт, подлежащий передаче в течение рабочего дня по определенному направлению и функции сети;

V_cp - средний объем передаваемых файлов по определен­ному направлению и функции сети в Кбайт;

Т - продолжительность рабочего дня (Т = 28800 сек).

В предположении пуассоновского потока заявок в сети интенсивность потока заявок равна параметру потока заявок. Определяемые параметры являются фактически макси­мальными, поскольку вычислены их требований пользователей, естественно, предъявленных в виде максимального запроса. Если у их использовать в качестве исходных данных для моделей сети,

то примерно в 50 % случаев передаваемые объемы информации превысят требуемые значения. Для того, чтобы получить их этих данных исходные данные для моделирования системы, должно решиться следующее уравнение относительно параметра :

, где (2)

k = [ _m Т];[…]— округление до целого числа. Параметр потока заявок , вычисленный путем решения уравнения (2), обеспечивает при имитации потока заявок в течение рабочего дня превышением числом заявок величины К в 1 % случаев.

Соотношение (2) является точным. Левая часть уравнения (2) является функцией распределения вероятностей случайной величину распределенной по закону Пуассона, и изменяется монотонно, относительно параметра . Поэтому для решения уравнения (2) относительно был применен метод последова­тельных приближений (метод половинного деления), обеспечи­вающий однозначное решение с заданным числом верных цифр.

В связи с затратой машинного времени целесообразно исследовать возможность использования для практических расчетов приближенной фор­мулы:

где (3)

Приведенная приближенная формула может использоваться при больших значениях «для грубых, ориентировочных расчетов». Возможность использова­ния правой части приближенного равенства (3) в качестве левой части уравнения (2) и получения при этом решения уравнения (2) с заданным числом верных цифр не исследована. Таким образом, область возможного использования соотношения (3) в рамках рассматриваемой научно-технической задачи не определена. В дальнейшем уравнение (2) будет именоваться точным соотноше­нием, а приближенным соотношением будем именовать уравне­ние (2), когда в качестве левой его части использована правая часть уравнения (3).

2. Постановка задачи на исследование.

При заданных величинах Т и Р (Т>0, 0<Р<1, Р - правая часть уравнения (2), где для решения изложенной научно-технической задачи оно задан­но равным 0, 99) разработать алгоритм и программу для ПЭВМ решения уравнения (2) относительно параметра с заданным числом верных цифр (s) в результате и при практических затратах машинного времени.

Приближенное число может быть представлена в сле­дующем виде:

,

где

- i-я значащая цифра (в числе значащих цифр не включаются предшествующие нули; | |>0);

r - порядок первой значащей цифры;

s - число значащих цифр в ,

s значащих цифр в являются верными, если выполнено нера­венство:

,

где

| | - абсолютное значение погрешности числа

| | = | - |, где - точное значение величины, характеризуе­мой приближенным числом .

3. Результаты исследовательских расчетов.

Д

ъ>

ля решения точного соотношения, как уже упоминалось, при­менен метод последовательных приближений (метод половинно­го деления). На первом шаге величина делится пополам, и ре­зультат подставляется в левую часть соотношения (2) в качестве параметра . Если при этом левая часть соотношения (2) оказы­вается меньше правой, то для последующего деления пополам на следующем шаге берется интервал (0, /2). Если же левая часть соотношения оказывается больше правой, то для после- дующего деления пополам выбирается интервал ( /2, .

Подобная процедура осуществляется на всех последующих шагах расчета, до тех пор, пока у выбранного на следующем шаге интервала( ) абсолютная разность границ не обеспечит вы­полнения неравенства:

| |<0,5 .

Округленная до s значащих цифр величина является результатом расчета, ко­торый обозначим через , с s верными значащими цифрами. Путем элементарных преобразований приближенного соотноше­ния получена следующая расчетная формула:

} (4)

где

t_p - квантиль нормального распределения вероят­ностей N(0, 1) для уровня вероятности Р (в нашем случае Р=0,99).

При выводе формулы использовалось естественное условие . Результат расчета по формуле (4) в дальнейшем будем обозначать

Порядок пересчета совокупности параметров { } в исходные данные для моделирования должен предусматривать пересчет, начиная с наименьшего значения затем т.д. до (r - общее число параметров). Пересчет должен вестись с использованием точного соотношения, обеспе­чивающим определение соответствующих величин , и при­ближенной формулы вплоть до , и достигается равен­ство заданного числа s первых цифр. При пересчете величин в качестве результата должны выдаваться соответ­ствующие величины . При пересчете величин должна использоваться только приближенная формула и в каче­стве результатов должны выдаваться соответствующие величины

Предложенный порядок расчета предполагает справедли­вость следующего утверждения: При число совпадающих

первых значащих соответствующих цифр в величинах и неограниченно (вплоть до бесконечности) ступенчато возрастает при монотонном характере этого возрастания. Сформулирован­ное утверждение нуждается в обосновании. Из следует, что и .

Непосредственно из формулы (4) следует при монотонном характере изменения . Из точного соотношения

(2) следует, что при любом значении при стремлении его к бесконечности соответствующее значение величины К продолжает оставаться квантилью распределения Пуассона с фиксиро­ванным уровнем вероятности Р (Р = 0,99). Квантиль при фикси­рованном уровне вероятности может стремиться к бесконечно­сти только тогда, когда математическое ожидание и дисперсия распределения, т.е. произведение • Т стремиться к бесконечно­сти, причем монотонно по отношению к величине К. Поскольку Т есть величина фиксированная, то имеем: .

В соответствии с известным утверждением о том, что при распределение Пуассона асимптотически нормально, причем безотносительно к величине К, должно выполняться следующее соотношение:

. (5)

Отметим, что отношение квантили распределения Пуассона К с уровнем вероятности Р к квантили ненормированного и нецентрированного распределения К+0,5 с тем же уровнем вероятно­сти Р монотонно стремиться к единице:

.

Квантили при фиксированном Р связанны монотонной функциональной зависимостью с парамет­рами распределений вероятностей. Поэтому отношение / из соотношения (5) должно характеризоваться монотон­ным, (хотя и ступенчатым) характером изменения при стремле­нии к пределу. Из соотношения (5) непосредственно следует со­отношение для относительной погрешности приближенной формулы:

. (6)

П

А„,

ричем относительная погрешность характеризуется моно­тонным характером ступенчатого изменения при стремлении к пределу. Соблюдая осторожность следует допустить возможность стремления к бесконечности абсолютной погрешности | при . Тогда из (6) следует, что бесконечно малая

величина 1/ как и 1/ при есть величина более высоко­го порядка малости, чем бесконечно малая величина 1/| |. Следовательно при более быстром возрастании и () по сравнению с абсолютной погрешностью возрастание порядка

первых значащих цифр r в числах и и при фиксирован­ном требуемом числе совпадающих первых значащих цифр s в числах и приводит к такому росту допустимой абсолютно погрешности, что она при конечном неизбежно превышает фактическую абсолютную погрешность приближенной форму­лы: ||< 0,5 . Это выполняется при любом конечном заданном числе s. Конечно для невозрастающей абсолютной по­грешности обоснованное утверждение будет заведомо справед­ливым. Невыполнение изложенных условий при обосновании сформулированного утверждения неизбежно приводит к отрица­нию асимптотической нормальности распределения Пуассо­на исследовательских расчетов.

МИРЭА

ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

БАЗОВАЯ КАФЕДРА МОИС

при ФГУП ЦНИИ <<ЦЕНТР>>

УТВЕРЖДАЮ:

Заведующий базовой кафедрой

_____________В.Г.Артюхов

<<___>>___________2012г.