§2. Криволинейные интегралы второго типа

Рассмотрим, как и в параграфе 1, кривую , которую пока считаем незамкнутой.

Пусть проекция этой кривой на ось представляет собой отрезок .

Пусть точки дают разбиение кривой . Рассмотрим их проекции , лежащие на отрезке и обозначим .

Пусть функция определена на кривой . Пусть - точка, лежащая на кривой между и . Положим .

Определение 3.2.1. Пусть . Если , то говорят, что I - это криволинейный интеграл второго типа .

Точно также, рассматривая проекции на ось y, определим .

Интеграл общего вида определяется, как сумма этих двух интегралов. Он также обладает свойствами линейности и аддитивности.

Вычисление криволинейного интеграла 2-го типа проводится в соответствии со следующей теоремой.

Теорема 3.2. При условиях предыдущей теоремы .

Теорему оставим без доказательства.

Примечание 1.

1. Если кривая L задана явным уравнением , где - непрерывно дифференцируемая функция, то предыдущая формула принимает вид:

2. Если L задана уравнением , то

.

3. Если - отрезок прямой , то для любой функции , если - отрезок прямой , то для любой функции Q.

Примечание 2.

Пусть - угол, составляемый вектором касательной к кривой и положительным направлением оси x. Тогда . Поэтому

.

Заметим, что при изменении направления обхода угол изменяется на . При этом , и интеграл в правой части написанного выше равенства меняет свой знак.

Примечание 3. В случае пространственной кривой L: , где - непрерывные на функции, а f - непрерывна на L, то

.

Аналогично, для непрерывных на L функций P,Q,R имеем

.

Примечание 4. Говорят, что на области задано векторное поле , если каждой точке сопоставлен вектор . Обозначим - радиус-вектор точки и . Тогда (скалярное произведение). Поэтому . Из физики известно, что эта величина представляет собой работу силы вдоль кривой L.

§3. Формула Грина

Эта формула обобщает формулу Ньютона-Лейбница.

Теорема 3.3. Пусть - криволинейная трапеция: , где - непрерывно дифференцируемые на функции, - граница области и направление обхода выбрано так, что область остается слева.

Пусть . Тогда .

Знак означает, что контур интегрирования замкнутый. Часто используется обозначение .

►Вычислим двойной интеграл ,используя теорему Фубини:

.

При каждом фиксированном величина определяется, как производная по y функции от одной переменной y, P(x,y). Поэтому при каждом применима формула Ньютона-Лейбница, согласно которой

.

Поэтому

.

Разобьем кривую на 4 участка, обозначенные на рисунке

Согласно c) из примечания 1 предыдущего параграфа, . По правилу из a) примечания 1,

.

Поэтому

.◄

Теорема 3.4. Пусть - криволинейная трапеция , где - непрерывно дифференцируемые на функции, граница области и направление обхода выбрано так, что область остается слева.

Пусть .

Тогда .

►Доказательство повторяет рассуждения предыдущей теоремы.

. ◄

Следствие 1. Если область можно представить как в виде криволинейной трапеции , где - непрерывно дифференцируемые на функции, так и в виде трапеции , где - непрерывно дифференцируемые на функции, – граница области, причем при ее обходе область остается слева, то

.

Примечание. Области, удовлетворяющие условиям следствия 1 - явление обычное. Например, круг , ограниченный окружностью , можно задать так: , а можно и так: .

Следствие 2. Если область можно разбить кривыми на конечное число областей, удовлетворяющих условиям следствия 1 и - граница , причем направление обхода выбрано так, что область остается слева, и и удовлетворяют перечисленным выше условиям, т.е и ,то

.

►

Ограничимся случаем, когда область разбивается на 2 части , удовлетворяющие условиям следствия 1, кривой . Пусть ограничивает , а ограничивает . Тогда , поскольку - это часть и кривая , а - остаток и кривая , но проходимая в противоположном направлении (поэтому интегралы по этим добавленным участкам сократятся).◄