Критерий интегрируемости
Критерий
существования определённого интеграла
формулировался в терминах сумм Дарбу,
т.е. сумм вида
,
,
где
,
,
то есть
- нижняя грань, а
- верхняя грань значений
при
.
Рассуждая
аналогично, рассмотрим для ограниченной
на квадрируемом множестве
функции
числа
,
(эти числа существуют ввиду предполагаемой
ограниченности функции
на
и, значит, на всех
.
Определим
суммы
Дарбу
равенствами
,
.
Эти величины представляют собой объемы
тел, состоящих из цилиндров с основаниями
и высотами, соответственно,
и
.
Ясно, что для любого разбиения
при любом выборе точек
выполнены неравенства между суммами
Дарбу и интегральной суммой, соответствующей
этому выбору точек:
.
На рисунке изображены тела, объёмы которых равны суммам Дарбу.
Нижняя сумма Дарбу |
Верхняя сумма Дарбу |
Вполне аналогично одномерному случаю можно доказать критерий существования двойного интеграла.
Теорема
1.1.
Ограниченная
на квадрируемом множестве
функция
интегрируема тогда и только тогда, когда
(На экзамене ограничиваемся формулировкой).
Из этого критерия следует теорема.
Теорема1.2. Если функция непрерывна на квадрируемом множестве , то интегрируема на этом множестве.
(На экзамене достаточно формулировки).
§2. Свойства двойных интегралов
Свойство
1.
Если
-
интегрируемые на квадрируемом множестве
функции,
а
числа, то
.
Иными словами, интеграл - линейный функционал.
Свойство
2.
Если
- интегрируема на объединении квадрируемых
множеств
,
то
,
причем
если площадь
пересечения
равна
0, то
.
(Аддитивность интеграла по множеству).
Свойство
3.
Если
- интегрируемая на квадрируемом множестве
функция
и
,
то
.
Свойство
4.
Если
-
интегрируемые на квадрируемом множестве
функции
и
,
то
.
Свойство
5.
Если
- интегрируемая на квадрируемом множестве
функция
,
причем
.
Свойство
6.
Если
- интегрируемая на квадрируемом множестве
функция
, то функция
– также
интегрируемая,
причем
где
т,
М ограничивающие
множество значений функции
числа, то
выполняются
неравенства
,
т.е.
существует
число
,
удовлетворяющее неравенствам
для
которого
.
Если,
кроме того,
множество
– связное*
и
- непрерывна
на нём,
то
существует точка
,
для которой
.
Доказывать эти свойства мы не будем, поскольку их доказательства вполне аналогичны доказательствам свойств обычного интеграла.
В конце п.1.2. отмечено, что если -непрерывная на множестве функция, то - интегрируема на . Свойство 2 позволяет утверждать, что если имеет разрывы на лишь вдоль конечного числа спрямляемых линий, разбивающих на квадрируемые области, то - интегрируема на , т.к., по свойству 2, интеграл по есть просто сумма конечного числа интегралов по полученным частям (на которых непрерывна и, значит, интегрируема).
*Примечание. Связным множеством на плоскости назовем такое множество, любые две точки которого можно соединить кусочно-гладкой кривой, лежащей в этом множестве.
