§4. Соленоидальное поле

Определение. - соленоидальное поле, если .

Векторная линия обладает тем свойством, что в любой ее точке вектор касательной к линии совпадает с .

Векторная трубка – это совокупность векторных линий.

Пусть - сечения векторной трубки и - ее боковая поверхность. . Рассмотрим внешнюю нормаль к и применим теорему Остроградского: , в случае соленоидального поля. Итак,

.

На _, по определению векторной линии, выполняется равенство , поэтому или . Изменяя направление нормали на на противоположное, получаем, что:

поток соленоидального поля через поперечные сечения векторных трубок постоянен.

§3. Циркуляция, ротор. Векторная формулировка теоремы Стокса

Пусть - контур с заданным направлением обхода, - векторное поле, - единичный вектор касательной к кривой. Определим циркуляцию как интеграл (смысл – работа силы вдоль контура ).

Введем систему координат. Пусть - направляющие косинусы , - координаты .

Тогда

и циркуляция представляет собой интеграл .

Для заданного непрерывно-дифференцируемого поля определим ротор (или вихрь) этого поля:

.

Легко проверить свойства ротора.

1. 

2. , где обозначает векторное произведение этих векторов.

Вспомним теперь теорему Стокса:

,

где - непрерывно дифференцируемые функции, - кусочно-гладкая поверхность, - ее край, причем направление обхода относительно выбранной стороны является положительным.

Вспомним, что , где - направляющие косинусы к выбранной стороне.

При этом правая часть формулы Стокса принимает вид

или .

Итак, в сделанных выше предположениях теорема Стокса выглядит так:

.

Дадим определение без использования системы координат. Пусть - точка, - плоскость, в которой лежит окружность радиуса с центром в .

Тогда, по теореме о среднем, ввиду непрерывности подынтегральной функции . Здесь точка близка к . По теореме Стокса, или

.

Ввиду произвольности выбора плоскости, получаем проекцию на произвольную ось . Это определяет и сам вектор.

Легко вычислить, что .

Можно доказать и обратное. Если область односвязная и векторное поле удовлетворяет условию , то - потенциальное, т.е. существует функция такая, что .

Отметим, что выводы о независимости интеграла от формы пути интегрирования, сделанные для двумерного случая, полностью переносятся и на трехмерный случай. Полученное там условие и условие т.е._, равенства ,вполне аналогичны.

Приложение 1.

Дифференциальные формы

Составители: Макаров Ю. Н., Лужина Л, М.,Чирский В.Г.

Дифференциальными формами первой, второй и третьей степени, соответственно, от переменных , , называются выражения:

1) ,

2) ,

3) ,

где – функции от переменных ; – дифференциалы соответствующих переменных.

Операция внешнего произведения ( ) обладает следующими свойствами: если – произвольные дифференциальные формы, то:

1) ,

2) ,

3) если, кроме того, и – формы первой степени, то ; в частности, если , то .

Замена переменных в дифференциальных формах

1. Если и , ,  дифференцируемые функции, то

.

2. Если и , ,  дифференцируемые функции, то

.

3. Если , а , , – дифферен­цируемые функции, то

.

Внешние дифференциалы от формы

1. Если , то внешним дифференциалом формы называют выражение:

.

В частности, если и , то

.

2. Если , то

.

Интегралы от дифференциальных форм

1) Пусть – гладкая кривая в , заданная уравнениями: , , , . Тогда, по определению, положим:

.

Обозначим:

– векторное поле;

– касательный вектор к . Выбор знака «+» или «–» определяет ориентацию кривой ;

– дифференциал дуги кривой ;

.

Тогда мы можем кратко записать

.

Этот интеграл называют циркуляцией вектора по ориентированной кривой .

В частности, если , то

,

где – длина кривой .

2) Пусть – гладкая поверхность, задаваемая дифференцируемыми функциями , , , , где – некоторая ограниченная замкнутая связная область.

Тогда, по определению,

.

Обозначим, как и выше,

;

, ;

– нормальный вектор поверхности (выбор знака «+» или «–» определяет ориентацию поверхности); – дифференциал поверхности и .

Тогда краткая запись интеграла от формы по поверхности может быть представлена в виде:

.

Интеграл в правой части этого равенства называется потоком вектора через заданную сторону поверхности .

В частности, если , то

,

где – площадь поверхности .

Замечание. Выбор вектора или определяет ориентацию поверхности (или кривой ). При изменении ориентации поверхности (или кривой) знак интеграла меняется на противоположный.