12. Признаки Абеля и Лейбница

Теор(Признак Абеля)

Пусть для знакопеременного ряда (1) выполнено

1) - сходится

2){b_n}- монотонна и ограничена

Тогда ряд (1) сходится в общем случае условно.

Док-во Так как последовательность {b_n} по условию монотонна и ограничена то по теореме о существовании предела монотонной последовательности она имеет предел, то представим ряд (1)в виде

тогда ряд (1^*) сходится по признаку Дирихле Значит (3) - сходится.

Теор(Признак Лейбница)

Рассмотрим знакопеременный ряд (1) и выполнено

1. Ряд (1) – знакочередующийся

2. Последовательность {|a_n|}монотонно убывающая т.е |a1||a2|…|an|

3.  liman=0 (при n+)

То ряд (1) – сходится в общем случае условно.

Док-во: Применим для док-ва признак Дирихле для чего в признаке Дирихле запишем ряд (1) в виде

1)

2){a_n}монотонно убывающая

3)lim a_n=0

Теор. Доказана !!!!!!

13. Умножение числовых рядов. Теорема о сходимости произведения двух числовых рядов

Опред1: рассмотрим 2-а числовых ряда (1) (2) и положим c_n= (n=0,1,2…)

ряд (3)

и назовём этот ряд (3) произведением рядов (1) и (2)

Теор(Сходимость произведения 2-х числовых рядов.)

Пусть выполнено:

1) ряд (1) – сходится абсолютно =S

3. ряд (2) – сходится = S*

Тогда c_n = - сходится и

(здесь «*» - умножить. Точка - это со звёздочкой)

Док-Во: Пусть R_n^*=S _n^*-S _n

Тогда c_n=a₀b₀+(a₀b₁+a₁b₀)+…+(a₀b_n+a₁b_n-1+…+a_nb₀)=a₀ S _n^* +a₁ S _n-1^* + a_n S ₀^* =

a₀(S ^*+R_n*) +a₁(S*+R_n-1*)+…+a_n(S*+R₀*)=S*_* S_n+(a₀R*_n+a₁R*_n-1+…+ a_nR*₀)=S_*S_n*+_n

где (a₀R*_n+a₁R*_n-1+…+ a_nR*₀)=_n. Перейдём в этом равенстве к пределу и покажем что _n0 Это следует из того что ряд (1)сходится абсолютно а ряд (2) – сходится

14. Перестановка членов в числовых рядах. Сформулировать теоремы Римана и Коши.

Опред: Рассмотрим последовательность{K_n} nN kN в которой каждое натуральное число встречается только один раз т.е {K_n} есть взаимно однозначное отображение N на N

a’n=aKn где nN и будем говорить что ряд является перестановкой ряда (1)

Теор1(Римана)

Пусть ряд (1) – условно сходящийся и пусть  - любое действительное число -≤≤+

Тогда  суммой которой является 

Теор2(Коши – переместительное свойство св-во абсолютно сходящихся рядов)

1. Если ряд(1) сходится абсолютно то любая его перестановка так же сходится и имеет ту же сумму

Если все перестановки сходятся то они сходятся к одной и той же сумме.