1. Определение числового ряда и его частичной суммы. Теорема о связи числового ряда с последовательностью частичных сумм. Определение сходящегося и расходящегося ряда. Расходимость к бесконечности и колеблющиеся ряды.

Deff. Пусть задана числовая последовательность комплексных чисел {a_n}. Составим новую последовательность {S_n}следующим образом: S₁=a₁; S₂=a₁+a₂;…; S_n=a₁+a₂+…+a_n Тогда пара числовых последовательностей называются числовым рядом и обозначаются a₁+a₂+…+a_n+…или ∑a_n. (1)

Элементы {a_n} – члены ряда (1); элементы {S_n} частичные суммы ряда (1).

Теорема. Всякой последовательности {S_n} соответствует единственный числовой ряд, частичные суммы которого равны соответствующим членам {S_n}.

Доказательство. a₁=S₁

a₂=S₂-S₁

a₃=S₃-S₂

…

a_n=S_n-S_n-1

S_n=a₁+a₂+…+a_n=S₁+S₂-S₁+S₃-S₂+…=S_n

Deff. Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится.

Ряд (1) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм расходится.

Deff. Если последовательность частичных сумм {S_n} расходится к +/– ∞ т.е или , то ряд называется расходящимся к + или – ∞.

Deff. Если последовательность частичных сумм ряда (1) не имеет ни конечного , ни бесконечного предела, то ряд называется колеблющимся.

2.Определение n-ного остаточного члена числового ряда и его свойства в случае сходящегося ряда. Теорема о необходимом условии сходимости числового ряда и следствие.

Deff. n-ным остаточным членом сходящегося ряда (1) называется разность R_n=(S-S_n)(где S – сумма сходящегося ряда (1)). Таким образом для сходящегося ряда справедливо равенство .

Свойство. Остаточный член R_n сходящегося ряда (1) равен сумме ряда .

Доказательство. Вычислим при любом фиксированном n сумму ряда . Для этого найдём предел его частичных сумм. S^*_k=a_n+1+a_n+2+…+a_n+k

Теорема. о необходимом условии сходимости числового ряда.

Для того чтобы ряд (1) сходился, необходимо, чтобы предел общего члена при n→∞ был равен нулю.

Доказательство. Т.к. (1) сходится, то существует , но при любом n S_n-S_n-1=a_n (n≥2) .

Следствие. Если или не существует, то ряд (1) расходится.

3. Доказать, что гармонический ряд расходится, не применяя критерий Коши.

Общий член стремится к нулю, а сам ряд расходится.

- гармонический ряд.

. В первом семестре  доказано, что монотонно возрастает и имеет пределом число e. Тогда . Прологарифмируем его по e:

. Запишем это неравенство до n:

n=1 1>ln2-ln1

n=2 1/2>ln3-ln2

n=3 1/3>ln4-ln3

…….

n 1/n>ln(n+1)-ln(n)

А теперь сложим получившиеся неравенства:

. Следовательно , но , значит {S_n} монотонно возрастает и не ограничена => , т.е. расходится, ч.т.д.

4. Свойства числовых рядов (теоремы 1,2)

Трм.1.:(Свойство 1)

Если в ряде (1) опустить некоторое число kN его первых членов, то получится ряд (3) того же характера, что и ряд (1).

Док-во: Т.к. , то, устремляя m к +∞, получаем, что либо и оба конечны, либо оба бесконечны, либо не существуют. Значит оба ряда (1) и (3) имеют один характер.

Следствие 1.:Два ряда (1) и (2) отличающиеся лишь значениями конечного числа членов имеют одинаковый характер.

Следствие 2.: При исследовании характера ряда (1), как следует из трм.1. допустимо добавлять, изменять или отбрасывать любое конечное число членов.

Трм.2.:(Свойство 2)

Если число k отличается от нуля, то ряды и (4) имеют одинаковый характер.

Док-во: Найдём частичную сумму ряда (4): , а т.к. k0, значит и имеют один характер, ч.т.д.

№5. СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ.

Свойство 3:

Если ряд (1) имеет конечную или бесконечную сумму, то любой сгруппированный ряд имеет ту же сумму

Доказательство:

Т.к. последовательность частичных сумм Sn ряда (1) имеет конечный (бесконечный) предел, то тот же предел имеет любая подпоследовательность

Замечание:

Обратное утверждение в общем случае неверно, т.к. из сущ. предела подпоследовательности не следует сущ. предела последовательности, т.е. сгруппированный ряд может быть сх., а данный – колеблющимся.

Свойство 4:

Если ряды (1) и (2) сх. и имеют конечные суммы S и S*, то ряд также сходится и имеет сумму S+S*

Доказательство:

Найдём Sn**= = =Sn+Sn*limSn**=limSn+limSn*=S+S* при n

Свойство 5:

Для всякого сходящегося ряда (1) отрезок Snm, содержащий данное число m – членов имеет предел равный нулю, т.е. limSnm=0 при n

Доказательство:

limSnm=limSn+m-limSn=S-S=0, n – фиксированное

№6.

Критерий Коши сходимости числового ряда. Отрицание критерия Коши. Доказать расходимость гармонического ряда.

Критерий Коши.

Для того чтобы ряд (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство:

Рассмотрим последовательность частичных сумм Sn ряда (1) {Sn}, причём критерием сходимости этой последовательности является критерий Коши  теорема доказана

Отрицание критерия Коши:

Если для ряда (1) выполнено, что , то ряд (1) – расходится

Доказательство: