1. Промежуток в пространсгве R^k. Псть x=(x₁,x₂,…,x_k), a=(a₁,a₂,…,a_k),b=(b₁,b₂,…,b_k)-векторы в R^k, тогда мн-во J=J_[a,b]={xR^k|a_ix_ib_i,(i=1,…,k)} называется промежутком, или сегментом, или корд. параллелепипедом в пр-ве R^k . Опр. Меры. Мерой или объемом промеж. J_[a,b] назыв. неотр. число V(J_[a,b])>0, опред. по ф-ле . Теорема о свойствах меры. Для V(J_[a,b]) имеют место св-ва 1.однородность (0): V(J_[a,b])=^k V(J_[a,b]) 2.аддитивность J₁ и J₂ –промежутки без общих внутр. точек такие, что J_[a,b]=J₁J₂=J₁+J₂, то V(J_[a,b])= V(J₁)+V(J₂) 3. монотонность. если J₁J₂, то V(J₁)V(J₂). Док-во. 1. Пусть 0-любое число, тогда 2.Пусть J_[a,b] разбито гиперплоскостью x₁=c на два промежутка J₁ и J₂, т.е. J_[a,b]= J₁J₂, где J₁={xR^k|a_ix_ib_i(ij), c<x_jb_j} и J₂={xR^k|a_ix_ib_i(ij), a_jx_j<c}. Тогда для меры V(J₁) и V(J₂) имеем 3.J_[a,b] J_[d,c]ciaibidi, тогда для . Определение разбиения промежутка. Мн-во плоскостей P={x_i=x_i^ji}, x_i⁰<x_i¹<x_i²<…<x_i^ji-1<x_i^ji<…<x_i^mi=b_i, (i=1,..,k), а m_i1-нат. число назыв разбиением промежутка J_[a,b] . Диаметр разбиения. Для  любого разбиения Р J_[a,b] на промежутки J₁, J₂,…,J_n, положим (P)=max d(J_i) (i=1,.,k) и назовем диаметром разбиения Р. Понятие измельчения разбиения. Разбиение Р* J_[a,b] получ. Добавлением к разбиению Р плоскостей x_i=c_i, a_i<c<b_i, назыв измельчением разбиения Р, РР*, при этом Р* назыв общим измельчением Р₁ и Р₂, если Р*=Р₁Р₂, т.е Р* состоит из всех плоскостей одновременно принадл Р₁ и Р₂.

2. Определение интегральной суммы. Пусть f(x):JR явл огр ф-ией многих независ переменных на промежутке JR^k и Р –разбиение J на части J₁,J₂,…,J_n, тогда выберем произвольную в каждом промежутке _iJ_i (i=1,.,n), и составим сумму: Назовем  интегральной суммой от ф-ии f(x) отпн разбиения Р и выбранных _i . Предел инт суммы при стремлении к нулю диаметра разбиения. По определению будем считать, что . Определение интеграла Римана по промежутку. Если  конеч предел (Р,f), то его значение будем назыв инт Римана от ф-ии f(x) по промеж J и обозн, . При этом будем говорить, что f(x) интегрируема по Риману на J и писать f(x)R(J).

3. Определение сумм Дарбу. J=J_[a,b]R^k и пусть f(x):JR –огр ф-ия, тогда каждому Р промеж J на J= J₁ J₂ …J_n , тогда , m_iM_i (i=1,..n), составим суммы и и назовем их соответственно нижней и верхней суммами Дарбу для ф-ии f(x) на J, отвеч Р Теорема о свойствах сумм Дарбу. Для s(P,f) и S(P,f) выполняются: 1.Если Р* измельчение Р, то нижние суммы могут только увеличиваться, а верхние только уменьшаться, т.е. S(P*,f)S(P,f), а s(P*,f)s(P,f) 2.Для  Р₁ иР₂ промеж J справедливы нер-ва s(P₁,f)S(P₂,f) 3.Для  Р промеж J s(P,f)(Р,f)S(P,f) 4.Для Р . Док-во. 1. Для простоты докажем для k=2 в пр-ве R². Пусть Р- разбиение J_[a,b] точками a₁=x₁⁰<x₁¹<…<x₁^j-1<x₁^j<…<x₁^m1=b₁ (j=0,1,…,m₁), a₂=x₂⁰<x₂¹<…<x₂^l-1<x₂^l<…<x₂^m2=b₂ (l=0,1,…,m₂) И пусть Р* измельчение Р такое, a₁=x₁⁰<x₁¹<…<x₁^j-1<x₁*<x₁^j<…<x₁^m1=b₁, a₂=x₂⁰<x₂¹<…<x₂^l-1<x₂^l<…<x₂^m2=b₂. За J_l¹ обозн промеж J_l¹={(x₁,x₂)|x₁^j-1x₁x₁*, x₂^l-1x₂x₂^l}, а J_l²={(x₁,x₂)|x₁*x₁x₁^j-1,x₂^l-1x₂x₂^l} , M_l¹=supf(J_l¹), M_l²=supf(J_l²) за M_lj=supf(J_l¹J_l²), тогда очевидно, что M_ljM_l¹, M_ljM_l². Составим разность В случае когда Р* получается добавлением неск плоскостей это док-во применяется несколько раз. 2.Пусть Р* общ измельч Р₁ иР₂ промеж J, тогда в силу 1-ого св-ва и в силу очевид нер-ва s(P₁,f) s(P*,f)  S(P*,f)S(P₂,f) s(P₁,f) S(P₂,f) 3.Пусть J= J₁ J₂ …J_n , в силу огр ф-ии на J имеем огр на J_i (i=1,..,n), тогда f(_i), где _i J_i, m_i f(_i)M_i, умножая обе части на V(J_i)0 : m_i V(J_i) f(_i)V(J_i)M_i V(J_i) просуммировав нер-во по всем i, получаем 4.Найдем

4. Определение нижнего и верхнего интегралов Римана по промежутку. Пусть J-промеж в R^k и f(x):JR – огр ф-ия, для  Р промеж J рассмотрим нижн и верхн суммы Дарбу, тогда точн верхн граница мн-ва нжн сумм Дарбу, сост по всевозможн Р, назыв нижн интеграл Римана по промеж J и обозн ; точная нижн граница мн-ва верхн сумм Дарбу, сост по всевозможн Р, назыв верхн интеграл Римана по промеж J и обозн . Теорема о свойствах нижнего и верхнего интегралов Римана по промежутку. Пусть J=J_[a,b]R^k и f(x):JR – огр ф-ия, тогда: 1.нижн и верхн интегралы Римана от f(x) существуют, 2.нижн интеграл Римана не превосходит верхнего , 3. предел сумм Дарбу , . Док-во 1.Т.к. f(x) огр на J_[a,b], то  mR, MR, (m R, MR)(x J_[a,b]):mf(x)M. Пусть Р-любое разб J= J₁ J₂ …J_n, тогда в силу нер-ва m m_iM_i M получаем т.е при  Р выраж s(P,f) и S(P,f) огр, т.е.  точн нижн границ верхн сумм Дарбу и точн верхнн границ нижн сумм Дарбу  . 2.Для  Р₁ и Р₂ выполн нер-во s(P₁,f) S(P₂,f), тогда считая Р₂ фикс, а Р₁-любое, тогда , а для произвольн Р₂ . 3.проведем док-во для R². в силу опред нижн инт Римана: . Заключим границы L* промеж J_i* разб P* внутрь полосок, параллел осям корд и обоначим Q*, . пусть >0-наим расст от L* до границы области Q*. Оассмотрим произвол Р промеж J_[a,b] акое, что (P)<, тогда Р’=PP* , то в силу св-в сумм Дарбу: , заметим, что s(P’,f) и s(P,f) тогда |s(P,f)-s(P’,f)|<MV(Q*)<M/2M=/2, тогда . В случае верхн сумм Дарбу док-во аналогично.

5. Критерий Дарбу о существовании интеграла Римана по промежутку (необходимость и достаточность). Пусть J=J_[a,b]R^k и f(x):JR – огр ф-ия, тогда чтобы f(x) дыла интегр по Риману на J нижн и верхн инт Римана на J были равны . Док-во. Необходимость Пусть . Используя св-ва 3, 4 сумм Дарбу: . Отсюда получаем и они равны между собой и равны и верхн инт равен нижн инт. Достаточность s(P,f) (P,f)S(P,f) при условии , крайние члены этого нер-ва по трм о св-вах интегралов Римана стреиятся к одному пределу при (Р)0, тогда (P,f) имеет тотже предел

6. Определение множества меры нуль в пространстве R . Мн-во ER^k назыв мн-вом меры нуль(по Лебегу), если .Теорема о свойствах множеств меры нуль. 1.Объединение конечного или счетного числа мн-в меры нуль, есть мн-во меры нуль. 2.Любое подмн-во мн-ва меры нуль есть само мн-во меры нуль. Док-во. 1.Пусть -не более чем счетное объед мн-в E_n меры нуль, то , тогда все {Jn} образуют не более чем счетное мн-во, т.к. они явл объед не более чем счетного числа не более чем счетных мн-в. Для объемов имеем . 2.очевиден. Опр. Если нект св-во выполнено всюду на мн-ве ER^k за исключением мнва меры нуль, то будем говорить, что это св-во выполняется почти всюду на мн-ве E. Критерий Лебега об интегрируемости функции многих переменных ни промежутку (формулировка). Пусть J=J_[a,b]R^k и f(x):JR – огр ф-ия, тогда чтобы f(x) непрер-на почти всюду на J.

7. Определения допустимого множества и характеристической функции. Определение интеграла Римана но множеству. Теорема об инвариантности определения интеграла Римана по множеству.

Опр EcR^k будем называть допустимым множеством, если оно ограничено в R^k и его граница – множ-во меры 0.

Опр χ_E(x) = 1 (x E), 0 (x E) называется характер-й ф-цией мн-ва E.

Опр f(x): R^k -> R и огранич. на EcR^k . Тогда интегралом от f(x) по мн-ву E наз-ся , где I – произв-й промежуток, содерж-й мн-во E. Если этот интеграл сущ-ет, то говорят, что f(x) интегрир. по Риману на E.

Трм. f(x): R^k -> R и огранич. на EcR^k . Если I₁ и I₂ – два промежутка, содерж-е мн-во E, то из существ-я следует сущ-е и их рав-во и наоборот.

Д-во: J = J₁ J₂ По усл-ю EcJ₁, EcJ₂ тогда EcJ. точки разрыва подинтегр. ф-ции лежат одновр-нно в J₁,J₂ и в J. Тогда согласно критерия Лебега интегралы по J₁,J₂ и J сущ-ют или не сущ-т одновр-нно. Пусть сущ-т . Возьмем P₁ – разб-е J₁ и P₂ – разб-е P₂. Причем так, чтоб в J = J₁ J₂ эти разб-я не совпадали. Тогда сожно выбрать такие ξ_i в этих элементарных пром-х J_i что в интегральных суммах для этих пром-в имеем: σ(P₁,f) = σ(P₂,f). Перейдем к пределу при μ(P₁) -> 0 и μ(P₂) -> 0 получаем, что = чтд.

8. Критерий Лебега интегрируемости по множеству. Определение меры Жордана допустимого множества. Внутренняя и внешняя меры Жордана допустимого множества.

Трм: f(x): R^k -> R ; Эта функция интегрируема по Риману на допустимом множестве E из R^k тогда и только тогда, когда она непрерывна почти всюду на E. Д-во: J E, f(x)χ_E(x) может иметь разрыв на E или на границе. Т.о. получается, что эта функция разрывна только в точках, к-рые в совокупности представляют собой множ-во меры 0. Тогда утверждение нашей теоремы следует из определения интеграла по мн-ву или из критерия Лебега интегрируемости ф-ции многих переменных.

Опр1: Мерой Жордана ограниченного множества ER^k называется величина . Причём если этот интеграл Римана существует, то существует и мера этого множества  будем называть множество измеримым по Жордану.

Замечание: Т.к. по определению интеграла по множеству , где E I, а множество точек разрыва – множество меры нуль, то, согласно критерию Лебега, введённая мера Жордана определяется только для допустимых множеств.

Опр2: Внутренняя и внешняя меры Жордана допустимого множества Е вводятся как внутренняя и внешняя соответственно площади множества Е, т.е. внутренняя сумма будет представлять собой , а внешняя - .

[ (Подробно): Пусть J – некоторый промежуток, целиком содержащий в себе Е. тогда для для χ_Е(х) составим s(P, χ) = и S(P, χ) = ; (где m и M - infχ_Е(J_i) и suprχ_Е(J_i) – соответственно). Тогда s – будет представлять собой площадь вписанного, а S – площадь описанного многоугольников. Пределы s и S – существуют, они равны и и представляют собой внутреннюю и внешнюю площади Е.]

9. Теорема о свойствах интеграла Римана, выражаемых равенствами.

1.Ecли f(x): R^k -> R интегр-ма на допустимом мн-ве E из R^k и равна нулю почти всюду на этом мн-ве, то =0 2.(Линейность) Если E из R^k допустимое и f(x) и g(x) интегрир по Р. на E то для любых действ α и β справедливо: αf(x)+βg(x) – тоже интегрир. на E и имеет место рав-во: 3. Если E₁ и E₂ из R^k – два допуст-х мн-ва и f(x) – интегрир. по Р. на E₁ E₂ и m(E₁ E₂)=0 то . Д-во: 1) J E, Р – разб-е J на J₁...J_n Тогда всегда можно выбрать ξ_i J_i так что σ(P,fχ_E) = =0; А т.к. по условию существует limσ независимо от выбора ξ_i ,получаем что = 0. 2)Пусть J – любой промежуток, содержащий E. Тогда используя определение интегр. по промеж. имеем: = = 3)Если f(x) интегр. на E₁ E₂ то в силу критерия Лебега эта ф-ция имеет мн-во точек разрыва меры 0 на мн-ве E₁ E₂ и следовательно имеет мн-во точек разырыва меры 0 на любом подмн-ве, а значит f(x) интегрир. по Р. на любом подмн-ве т.е и на E₁ и на E₂. Т.к. имеем: = = {т.к. равна нулю почти всюду на E₁ E₂} = .