6.2 Цепь с индуктивностью

С разу заметим, что не бывает цепей, содержащих только индуктивность. Реальная катушка, кроме индуктивности L всегда имеет активное сопротивление. Но мы рассмотрим идеальную катушку (R = 0)

Допустим, что для цепи, представленной на рисунке, известны индуктивность и ток, изменяющийся по закону:

i = I_msint (6.9)

Мы знаем, что переменный ток наводит в катушке ЭДС самоиндукции. Поскольку активного сопротивления в цепи нет, мы можем записать в соответствии со 2 законом Кирхгофа:

u = e_L (6.10)

Нам так же известно, что ЭДС самоиндукции пропорциональна скорости изменения тока:

(6.11)

А напряжение:

(6.12)

Уравнение приложенного напряжения можно найти из векторной диаграммы, где ток изображен вектором I_m, вращающимся с угловой частотой .

Рис. 6.5 Опережение напряжением тока в цепи с индуктивностью

Рассмотрим промежуточные положения вектора I_m, отстоящих от начального на угол  = t и  + d. Где d - элементарный угол, на который поворачивается вектор за малое время dt. За это время мгновенное значение тока изменяется на величину di. Это приращение тока равно катету треугольника abc. Гипотенуза этого треугольника может быть приравнена величине дуги окружности ab – из-за малой величины угла d. В этом случае угол при вершине b будет равен . При очень малых углах, отрезок ab будет равен I_md, а:

di = I_md cos  (6.13)

Тогда уравнение напряжения будет выглядеть следующим образом:

(6.14)

Имея ввиду, что  = t, а следовательно

мы можем записать:

u = LI_m cost = LI_m sin(t+90^o) (6.15)

Мы видим, что в цепи с индуктивностью напряжение опережает ток, а ток отстает от напряжения на 90^о или на /2.

Действующая величина напряжения определяется из последнего уравнения. Для этого нужно разделить амплитуду напряжения на 2.

(6.15)

Коэффициент обратной пропорциональности между действующими значениями тока и напряжения L называют индуктивным сопротивлением и обозначают X_L. Поэтому

(6.16)

Похоже на закон Ома? Эта похожесть позволяет определять ток в цепи с индуктивным сопротивлением так же, как ток в цепи с активным сопротивлением. Но нужно помнить, что с физической точки зрения индуктивное сопротивление с активным сопротивлением ничего общего не имеет. Это понятие введено для облегчения расчетов и заменяет влияние ЭДС самоиндукции на ток в цепи – вспомните правило Ленца.

Вернемся к векторной диаграмме. Значение мгновенного напряжения выражается отрезком 0d в масштабе, отличающемся от масштаба тока в L раз. Перенесем этот отрезок на вертикальную ось. Тогда этому отрезку будет соответствовать вектор U_m, опережающий вектор тока на 90^о. Ясно, что ЭДС самоиндукции будет направлен в противоположную сторону:

е = -LI_m cost = E_m sin(t - 90^o) (6.17)

На первоначальном рисунке показана векторная диаграмма цепи с отложенными действующими значениями тока, напряжения и ЭДС.

Рис. 6.6 Мощность в цепи с индуктивностью

Теперь разберемся с мощностью индуктивности. Мгновенная мощность очевидно записывается: q = ui, или:

(6.18)

Или

Q = UI (6.19)

Построим график изменения мощности и выясним физический смысл энергетических процессов. Из графика видно, что мгновенная мощность, в течении периода 4 раза меняет знак. Это значит, что направление потока энергии меняется точно так же. Другими словами катушка является то приемником электроэнергии, то источником энергии по два раза за период.

Это означает, что средняя мощность индуктивности за период равна 0. А значит преобразования электрической энергии в другие виды энергии не происходит. Такая колеблющаяся, но не потребляющаяся мощность называется реактивной.

Единица измерения реактивной мощности вар – вольт-ампер реактивный.