3. Символьное интегрирование
Неопределённый и определённый интегралы от элементарных функций аналитически вычисляются с помощью функции int().
,
, где a
и b
символьные пределы.
При помощи функции int вычисляются также кратные и несобственные интегралы;
П
р и м е р 1.
Вычислить:
>> syms x;
>> y = x/(1 + x^2);
>> int(y)
ans =
1/2 * log(1 + x^2)
П
р и м е р 2.
Вычислить:
>> syms x a b;
>> y = x/(a + b + x^2);
>> int(y)
ans =
1/(2 * b) * log(a + b * x^2)
П
р и м е р 3.
Вычислить:
>> syms x a b;
>> y = x/(1 + x^2);
>> int(y, a, b)
ans =
1/2 * log(1 + b * x^2) – 1/2 * log(1 + a^2)
Вычислить:
>> syms x;
>> y = x/(1 + x^2);
>> int(y, 1, 5)
ans =
1/2 * log(13)
П
р
и
м
е
р
4.
Вычислить:
>> syms x;
>> f = exp( –(2 * x)^2);
>> int(f, x, –inf, inf)
ans =
1/2
* pi^(1/2)
Вычисление кратных интегралов
Кратный интеграл получается путем интегрирование предыдущего значения интеграла.
Двойной интеграл получается путем интегрирования определенного или неопределенного интеграла, тройной интеграл - путем интегрирования двойного интеграла.
П р и м е р 1.
Вычислить двойной
интеграл
>>syms x;
>>y=x/(1-x^2);
>>z=int(y)
z=
-1/2*log(x-1)-1/2*log(x+1)
>>int(z)
ans=
- 1/2*log(x - 1)*(x - 1) + x - 1/2*log (x + 1)*(x + 1)
Функцию int при n – кратном интегрировании можно повторить n раз
>>syms x;
>>y=x/(1-x^2);
>>z=int(int(y))
ans=-1/2*log(x-1)*(x-1)+x-1/2*log (x+1)*(x+1)
4. Разложение функций в ряды. Вычисление сумм рядов и произведений. Разложение функций в ряд Тейлора.
Ряд Тейлора
Ряд Маклорена
Разложение в р. Тейлора реализуется с помощью функции Taylor (f(x), x, x0, n),
где f(x) – функция разлагаемая в ряд Тейлора,
x – аргумент функции,.
X0 – зн. X в окрестности которого разлагается средняя f(x),
n – число членов разложения.
П р и м е р 1. Разложить в окрестности точки x0 = 0 функции у1 = sinx, у2 = ex, у3 = lnx, удержать 5 членов разложения.
>>syms x y1 y2 y3;
>>y1 = sin(x); y2=exp(x); y3=log(x);
>>z1 = taylor (y1, x, 0, 5)
z1=
x – 1/6*x^3
>>z2 = taylor (y2, x, 0, 5)
z2=
1+x+1/2*x^2+1/6*x^3+1/24*x^4
>>z3 = tailor(y3, x, 0, 5)
z3=
Решения нет. Функцию y3 = ln x программа в ряд не разложила, т.к. в точке x0=0 данная функция и её производные не существуют.
Вычисление сумм рядов и произведений.
Для вычисления сумм рядов используется функция symsum.
П р и м е р 2.
Вычислить
>> sym (‘k’);
>> s = symsum (1/k^4, 1, 10)
П р и м е р 3.
Вычислить
>> syms k;
>> fac = sym (‘2*k’);
>> s = symsum ((-1)^k/fac, 1, inf)
П р и м е р 4.
Вычислить произведение
>> maple(‘product( a[k], k=0..4)’)
ans=
a[0]* a[1]* a[2]* a[3]* a[4]
5. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений
Для нахождения решения уравнения в символьном виде используется функция solve
П р и м е р 1.
Найти решение уравнения
.
>> syms a0 a1 a2 a3 x;
>> S = a0*x^3 + a1*x^2 + a2*x + a3;
>> solve (S, x) % solve – солв-решить
ans=
… % решение занимает 23 строки.
Найти решение этого же уравнения относительно a0
>> syms a0 a1 a2 a3 x;
>> S = a0*x^3 + a1*x^2 + a2*x + a3;
>> solve (S, a0)
ans=
- (a1*x^2+a2*x+a3)/x^3
П р и м е р 2. Решить уравнение cos (2x) + sin (2x) = 1.
>> solve ( ‘cos(2*x) + sin(2*x) – 1’; x)
ans =
[1/4*pi]
[ 0]
П р и м е р 3.
Решить систему
>> syms x y alpha
>> [X,Y] = solve (x^2*y^2 – 1, x – y/2 – alpha) % получаем решение системы нелин. %уравнений