
- •Введение в дискретный анализ
- •Глава 1. Введение в теорию множеств
- •Тема 1.1. Множества и операции над ними
- •1.1.1. Основные понятия
- •1.1.2. Операции над множествами
- •1.1.3. Векторы и прямые произведения
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 1.2. Отношения
- •1.2.1. Основные понятия и определения
- •1.2.2. Бинарные отношения. Основные определения
- •1.2.4. Эквивалентность и порядок
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 1.3. Соответствия и функции
- •1.3.1. Соответствия и их свойства
- •1.3.2. Взаимно однозначные соответствия и мощности множеств
- •1.3.3. Функции и отображения
- •1.3.4. Операции
- •1.3.5. Гомоморфизмы и изоморфизмы
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Глава 2. Математическая логика
- •Тема 2.1. Логика высказываний
- •2.1.1. Логические связки
- •2.1.2. Основные схемы логически правильных рассуждений
- •2.2.2. Булева алгебра
- •2.2.3. Эквивалентные преобразования
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 2.3. Полнота и замкнутость
- •2.3.1. Функционально полные системы
- •2.3.2. Алгебра Жегалкина и линейные функции
- •2.3.3. Замкнутые классы и монотонные функции
- •2.3.4. Теоремы о функциональной полноте
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 2.4. Нечеткая логика
- •2.4.1. Основные понятия теории нечетких множеств
- •2.4.2. Логические операции над нечеткими множествами
- •2.4.3. Свойства логических операций над нечеткими множествами
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 2.5. Нечеткие модели управления
- •2.5.1. Нечеткие операторы
- •2.5.2. Нечеткая и лингвистическая переменные
- •2.5.3. Нечеткий логический вывод
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 2.6. Логика предикатов
- •2.6.1. Предикаты. Основные понятия
- •2.6.2. Кванторы
- •2.6.3. Выполнимость и истинность
- •2.6.4. Эквивалентные соотношения. Префиксная нормальная форма
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Глава 3. Комбинаторика
- •Тема 3.1. Комбинаторные конфигурации
- •3.1.1. Принципы сложения и умножения
- •3.1.2. Перестановки
- •3.1.3. Размещения
- •3.1.4. Сочетания
- •3.2.2. Полиномиальная формула
- •3.2.3. Формула включений и исключений
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Глава 4. Теория графов
- •Тема 4.1. Основные понятия и операции на графах
- •4.1.1. Основные понятия
- •4.1.2. Способы задания графов
- •4.1.3. Операции над частями графа. Графы и бинарные отношения
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 4.2. Маршруты и деревья
- •4.2.1. Маршруты, пути, цепи, циклы
- •4.2.2. Дерево и лес
- •5.1.2. Способы задания автоматов
- •5.1.3. Взаимосвязь между моделями Мили и Мура
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
- •Тема 5.2. Детерминированные конечные автоматы
- •5.2.1.Основные понятия детерминированных конечных автоматов
- •5.2.2. Схема доказательства правильности конечного автомата
- •5.2.3. Произведение автоматов
- •5.3.2. Детерминизация нка
- •Вопросы для повторения
- •Резюме по теме
1.2.4. Эквивалентность и порядок
Отношение называется отношением эквивалентности (или просто эквивалентностью), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Пример 4.
Отношение «жить в одном городе» на множестве людей.
Пусть на множестве
задано отношение эквивалентности
.
Осуществим следующее построение. Выберем
элемент
и образуем класс
(подмножество
),
состоящий из элемента
и всех элементов, эквивалентных ему в
рамках данного отношения. Затем выберем
элемент
и образуем класс
,
состоящий из
и эквивалентных ему элементов. Продолжая
эти действия, получим систему классов
(возможно, бесконечную) такую, что любой
элемент из множества
входит хотя бы в один класс, то есть
.
Эта система обладает следующими свойствами:
она образует разбиение множества , то есть классы попарно не пересекаются;
любые два элемента из одного класса эквивалентны;
любые два элемента из разных классов не эквивалентны.
Все эти свойства
прямо следуют из определения отношения
эквивалентности. Действительно, если
бы, например, классы
и
пресекались, то они имели бы хотя бы
один общий элемент. Этот элемент был
бы, очевидно, эквивалентен
и
.
Тогда, в силу транзитивности отношения
выполнялось бы
.
Однако, по способу построения классов,
это не возможно.
Построенное разбиение, то есть система классов – подмножеств множества , называется системой классов эквивалентности по отношению . Мощность этой системы называется индексом разбиения. С другой стороны, любое разбиение множества на классы само определяет некоторое отношение эквивалентности, а именно отношение «входить в один класс данного разбиения».
Пример 5.
Формулы, описывающие одну и ту же элементарную функцию, находятся в одном классе эквивалентности по отношению равносильности. В данном случае счётными являются само множество формул, множество классов эквивалентности (то есть индекс разбиения) и каждый класс эквивалентности.
Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным.
Отношение называется отношением строгого порядка, если оно является антирефлексивным, антисимметричным и транзитивным.
Оба типа отношений
вместе называются отношениями
порядка.
Элементы
сравнимы по отношению порядка
,
если выполняется одно из двух отношений
или
.
Множество
,
на котором задано отношение порядка,
называется полностью упорядоченным,
если любые два его элемента сравнимы.
В противном случае, множество называется
частично упорядоченным.
Пример 6.
а) Отношения «
»
и «
»
являются отношениями нестрогого порядка,
отношения «<» и «>» – отношениями
строгого порядка. Оба отношения полностью
упорядочивают множества
и
.
б) На системе
подмножеств множества
отношение включения «
»
задаёт нестрогий частичный порядок, а
отношение строгого включения «
»
задаёт строгий частичный порядок.
Например,
,
а
и
не сравнимы.
в) Отношение подчинённости в трудовом коллективе создаёт строгий частичный порядок. В нём, например, несравнимыми являются сотрудники различных структурных подразделений.
Элементы а,bМ сравнимы по отношению порядка R на М, если выполняется aRb или bRа.
Множество М, на котором задано отношение порядка, может быть:
а) полностью упорядоченным множеством, если любые два элемента из М сравнимы по отношению порядка. В таком случае говорят, что отношение R задает полный порядок на множестве М. Например, отношение «быть не старше» задает полный порядок на множестве людей;
б) частично упорядоченным множеством - в противном случае. При этом говорят, что отношение R задает на множестве М частичный порядок. Например, отношение «быть начальником» задает на множестве сотрудников организации частичный порядок, так как, например, для пары сотрудников одного отдела данное отношение не выполняется: они несравнимы по данному отношению.