Вопросы для повторения

1.Конечный автомат это?

2.В чем отличие конечного автомата и просто автомата?

3.Назовите множества, которые описывают конечный автомат?

4.Приведите различие модели автомата Мили и Мура?

5.Приведите способы задания автоматов?

6.Как осуществляется переход от автомата Мили к модели автомата Мура?

7. Как осуществляется переход от автомата Мура к модели автомата Мили?

8.Сформулируйте достоинства и недостатки различных способов задания автоматов?

9.Что такое функция переходов?

Резюме по теме

Показан способ принятия решений при помощи конечных автоматов. Даны основные характеристики и способы представления информации конечными автоматами. Выявлена структура автомата с его набором множеств, таких например, как множество входных и выходных значений. Рассмотрены способы задания автоматов. Приведены наиболее часто используемые автоматы Миля и Мура, а так же показано их отличие в работе. Рассмотрена взаимосвязь между моделями автоматов Миля и Мура, где показан переход из одной модели в другую и наоборот.

Тема 5.2. Детерминированные конечные автоматы

Цель: ознакомиться с детерминированными конечными автоматами.

Задачи:

1. Рассмотреть основные понятия детерминированных конечных автоматов.

2. Изучить схему доказательства правильности автомата.

3. Показать как осуществляется произведение автоматов.

5.2.1.Основные понятия детерминированных конечных автоматов

Конечные автоматы часто используются для определения тех или иных свойств слов, т.е. для распознавания языков: автомат, распознающий некоторый язык L должен по произвольному слову w ответить на вопрос w L?. Для решения такой задачи функция выходов может быть заменена на проверку того, в какое состояние переходит автомат после получения входного слова w принимающее или отвергающее.

Детерминированный конечный автомат (ДКА) – распознаватель - это система вида

A =< Σ, Q, q₀, F, Φ, >,

включающая следующие компоненты:

Σ = {a₁, . . . , a_m} (m ≥ 1) конечное множество - входной алфавит;

Q = {q₀, . . . , q_n−1^}(n ≥ 1) конечное множество - алфавит внутренних состояний;

q₀ Q начальное состояние автомата;

F Q множество принимающих (допускающих, заключительных) состояний;

Φ : Q Ч Σ → Q функция переходов, Φ(q, a) это состояние, в которое переходит автомат из состояния q, когда получает на вход символ a.

Функцию Φ называют программой автомата A и задают как список из mn команд вида q_ia_j→Φ(q_i, a_j).

Удобно также задавать функцию Φ с помощью описанной выше таблицы размера n m, строки которой соответствуют состояниям из Q, а столбцы символам из входного алфавита Σ, в которой на пересечении строки q_i и столбца a_j стоит состояние Φ(q_i, a_j).

Как и автоматы-преобразователи, автоматы-распознаватели можно представлять с помощью размеченных ориентированных графов, называемых диаграммами.

Диаграмма ДКА A =< Σ, Q, q₀, Φ > это ориентированный мультиграф D_A= (Q, E) с помеченными ребрами, в котором выделена вершина начальное состояние q₀ из каждой вершины q Q выходит |Σ_X| ребер, помеченных символами a Σ так, что для каждой q Q и каждого символа a Σ имеется единственное ребро из q в вершину q0 = Φ(q, a) с меткой a.

Скажем, что представленный последовательностью ребер путь p = e₁e₂. . . e_t в диаграмме несет слово w = w₁w₂. . . w_t, если w_i это метка ребра e_i(1 ≥ i ≥ t). Если q начальная вершина (состояние) этого пути, а q^’его заключительная вершина, то будем говорить, что слово w переводит q в q^’.

Работа конечного автомата-распознавателя состоит в чтении входного слова и изменению состояний в зависимости от его символов.

Конфигурация ДКА A =< Σ, Q, q₀, F, Φ, > - это произвольная пара вида (q, w), в которой q Q и w Σ∗ (напомним, что через Σ∗ обозначено множество всех слов в алфавите Σ, включающее и пустое слово ε).

На множестве конфигураций введем отношение перехода за один шаг: ├_А

(q, w) `_A(q^’, w^’) w = aw^’, Φ(q, a) = q^’.

Если w = ε, то положим для каждого q Q: (q, ε) ├_А(q, ε).

Через обозначим рефлексивное и транзитивное замыкание.

Содержательно, (q, w) (q’, w’) означает, что автомат A, начав работу в состоянии q на слове w = w₁. . . w_l через некоторое конечное число шагов 0 ≤ k ≤ l прочтет первые k символов слова w и перейдет в состояние q’, а w^’= w_k+1 . . . w_l это непрочтенный остаток слова w.

ДКА A распознает (допускает, принимает) слово w, если для некоторого q F (q₀, w) (q, ε), т.е. после обработки слова w автомат переходит в принимающее состояние.

Язык L_A, распознаваемый (допускаемый, принимаемый) автоматом A, состоит из всех слов, распознаваемых этим автоматом:

L_A= {w | A распознает w}.

Язык называется, конечно автоматным, если он распознается некоторым ДКА.

Из этого определения, в частности, следует, что ε L_A q₀ F . Один и тот же язык может распознаваться разными автоматами.

Автоматы A и B называются эквивалентными, если совпадают распознаваемые ими языки, т.е. L_A= L_B.

Определение распознавания слова и языка можно легко перевести на язык диаграмм.

Лемма 1. Автомат A распознает (допускает, принимает) слово w, если для некоторого q F в диаграмме D_A имеется путь из q₀ в q, который несет слово w, т.е. w переводит q₀ в заключительное состояние q.

Доказательство можно провести индукцией по длине слова w.

Таким образом, язык L_A, распознаваемый автоматом A, состоит из всех слов, которые переводят в его диаграмме D_A начальное состояние q₀ в заключительные состояния из F .

Во многих случаях удается доказать, что язык L конечно автоматный, непосредственно построив распознающий его автомат. Для этого нужно постараться разбить множество всех входных слов на конечное число классов однородных, эквивалентных слов, т.е. слов, получение которых на входе одинаково влияет на возможность их продолжения до слов распознаваемого языка. Затем для каждого такого класса создать состояние автомата и определить переходы между этими состояниями. Часто полезно бывает выделить одно состояние для представления ошибочных слов, для которых ни они сами, ни любые их продолжения не входят в язык.

Пример 1.

Рассмотрим язык L, состоящий из всех слов в алфавите Σ = {a, b}, которые начинаются на aa и содержат нечетное число символов b.

Для выделения слов, начинающихся на aa создадим начальное состояние q₀, которое первый символ a будет переводить в состояние q₁, а второй символ a будет переводить q₁ в состояние q₂. Ясно, что все слова, которые начинаются на ab, ba, bb сами не входят в язык L и все их продолжения также ошибочны. Заведем для них ошибочное состояние q_!. Остальные слова естественно разбиваются на два класса: т.е., в которых четное число символов b, и те, в которых число таких символов нечетно (они и принадлежат L). Так как после получения aa число b четно, то для представления слов первого класса будем использовать состояние q₂, а для представления слов второго создадим состояние q₃, которое и будет заключительным. В результате получаем автомат, диаграмма которого представлена на рис. 5.14. Здесь начальное состояние отмечено стрелкой , а заключительное состояние отмечено двумя окружностями.

Рис. 5.14. Диаграмма автомата А

Проверим работу этого автомата, например, на входном слове w = aaababa. При его чтении порождается следующая последовательность конфигураций:

(q₀, aaababa) (q₁, aababa) ( (q₂, ababa) ( (q₂, baba) ( (q₃, aba) ( (q₃, ba) ( (q₂, a ()(q₂, ε).

Заключительное состояние этого вычисления q₂ не является заключительным.

Следовательно, w L_A. Если же мы рассмотрим в качестве входа слово w₁= wb =aaababab, то, продолжив на один шаг приведенное выше вычисление, получим, что (q₀, w₁) (q₃, ε). Следовательно, w₁ L_A.

Проверка показала, что на двух входах автомат A работает верно. Как установить, что он построен корректно, т.е. верно работает на всех входных словах и распознает L?