3.1.3. Размещения

Упорядоченные выборки объемом m из n элементов (m  n), где все элементы различны, называются размещениями. Число размещений из n элементов по m обозначается .

Теорема 3. =

Обозначим x = . Тогда оставшиеся (n – m) элементов можно упорядочить (n – m)! способами. По принципу произведения, если объект A можно выбрать x способами, объект B (n – m)! способами, то совместный выбор “A и B” можно осуществить x (n – m)! способами, а выбор “A и B” есть перестановки и P_n = n! Отсюда x = =

Рассуждая иначе: первый элемент выбираем n способами, второй – (n – 1) способами и т.д. , m–й элемент выбираем (n – m + 1) способом. По принципу произведения вновь имеем: n(n – 1)...(n – m +1), что совпадает с .

Пример 3.

Группа из 15 человек выиграла 3 различных книги. Сколькими способами можно распределить эти книги среди группы?

= 15 14 13 = 2730.

Рассмотрим размещения, которые не являются подмножествами.

Упорядоченные выборки объемом m из n элементов, где элементы могут повторяться, называются размещениями с повторениями. Их число обозначается (n).

Теорема 4. (n) = n^m.

Доказательство. Первый элемент может быть выбран n способами, второй элемент также может быть выбран n способами и так далее, m -й элемент также может быть выбран n способами. По принципу произведения получаем n^m .

Пример 4.

Кодовый замок состоит из четырех разрядов, в каждом разряде независимо от других могут быть выбраны цифры от 0 до 9. Сколько возможных комбинаций?

Здесь n = 10, m = 4 и ответом будет 10⁴.

3.1.4. Сочетания

Неупорядоченные выборки объемом m из n элементов (m  n) называются сочетаниями. Их число обозначается .

Теорема 5.

Доказательство. Очевидно, Действительно, объект A – неупорядоченная выборка из n элементов по m, их число . После того, как эти m элементов отобраны, их можно упорядочить m! способами (в роли объекта B выступает “порядок“ в выборке). Совместный выбор “A и B“ – упорядоченная выборка.

Пример 5.

Группа из 15 человек выиграла 3 одинаковых книги. Сколькими способами можно распределить эти книги?

Рассмотрим сочетания, которые не являются подмножествами.

Пусть имеется n типов элементов, каждый тип содержит не менее m одинаковых элементов. Неупорядоченная выборка объемом m из имеющихся элементов (их число  mn ) называется сочетанием с повторением. Число сочетаний с повторениями обозначается (n).

Теорема 6. (n) = .

Доказательство. Пусть в выборку вошло m₁ элементов первого типа, m₂ элементов второго типа, ...m_n – n-го типа. Причем каждое 0  m _i m и m₁+m₂+ ...+ m_n= =m. Сопоставим этой выборке вектор следующего вида: Очевидно, между множеством неупорядоченных выборок с повторениями и множеством векторов {b_n} существует биекция (докажите это!). Следовательно, (n) равно числу векторов b_n. “ Длина вектора” b_n равна числу 0 и 1, или m+ +n–1. Число векторов равно числу способов, которыми m единиц можно поставить на m + n  1 мест, а это будет .

Пример 6.

В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Покупатель берет 4 пирожных. Сколькими способами он может это сделать? (Предполагается, что пирожных каждого вида  4).

Число способов будет

Пример 7.

Пусть V = {a, b, c}. Объем выборки m = 2. Перечислить перестановки, размещения, сочетания, размещения с повторениями, сочетания с повторениями.

1. Перестановки: {abc, bac, bca, acb, cab, cba}. P₃=3!=6.

2. Размещения: {(ab), (bc), (ac), (ba), (cb), (ca)}.

3. Сочетания: {(ab), (ac), (bc)}.

4. Размещения с повторениями: {(ab), (bc), (ac), (ba), (cb), (ca), (aa), (bb), (cc)}. (3)= 3² = 9.

5. Сочетания с повторениями: {(ab), (bc), (ca), (aa), (bb), (cc)}.

Вопросы для повторения

1.Чем занимается комбинаторика?

2.Кем впервые был введен термин комбинаторика?

3.В чем заключается смысл правила суммы и произведения?

4.Что представляет собой выборка?

5.Когда используются перестановки?

6.Назовите отличие размещения от перестановки?

7.В чем особенность размещений с повторениями?

8.Что такое сочетание?

Резюме по теме

Показано назначение комбинаторики. Применение комбинаторики в менеджменте в явном виде практически не используется, но при применении статистики или же при решении задач линейного программирование аппарат комбинаторики приходится к месту. Рассмотрен принцип сложения и умножения. Показаны перестановки, размещения и сочетания.

Тема 3.2. Разбиения. Включения и исключения

Цель: ознакомиться с понятиями комбинаторики разбиения, включения и исключения.

Задачи:

1. Рассмотреть разбиения.

2. Рассмотреть полиномиальную формулу.

3. Рассмотреть формулы включения и исключения.

3.2.1. Разбиения

Пример 1.

Подсчитаем число разбиений конечного множества Х, где , на k подмножеств Х₁, Х₂, …, Х_k таких, что каждое Х_i содержит n_i элементов, т.е.

, при , , i=1, 2, .., k. (1)

Очевидно, что при этом n₁+n₂+…+n_k=n. Отметим, что для некоторых номеров i возможно . Число указанных разбиений при фиксированных n_i обозначается .

Замечание. В данном случае набор подмножеств множества Х в разбиении является упорядоченным, т.е. Х₁, Х₂, …, Х_k – упорядоченная последовательность множеств.

Лемма. .

Доказательство: Множество Х₁ может быть выбрано . После выбора Х₁ множество Х₂ можно выбрать способами (т.к. и ) и т.д. Тогда по правилу произведения выбор упорядоченной последовательности множеств Х₁, Х₂, …, Х_k можно произвести способами.

Теорема 1. .

Доказательство: [после сокращений]= , что и требовалось доказать.

Пример 2.

Требуется найти число размещений с повторениями из n элементов по k элементов, в которых первый элемент встречается ровно n₁ раз, второй элемент встречается ровно n₂ раз, …, k–ый элемент встречается ровно n_k раз (n₁+n₂+…+n_k=n).

Теорема 2. Число таких размещений равно .

Доказательство. Каждому размещению указанного типа поставим в соответствие разбиение множества номеров элементов в выборке на подмножества Х₁, Х₂, …, Х_k, где Х_i – множество номеров элементов i–го типа в выборке. Очевидно, что при этом выполняются условия (1). Указанное соответствие между размещениями данного типа и разбиениями, удовлетворяющими (1), является взаимно однозначным (биективным). Следовательно, в силу теоремы 1, теорема 2 верна.

Пример 3.

Сколькими способами можно разбить конечное множество Х, где , на подмножества, среди которых для каждого i=1, 2,…, n имеется подмножеств с i элементами, где ? Заметим, что в отличие от задачи 1 набор подмножеств в разбиении не является упорядоченным (т.е. порядок подмножеств в разбиении не является существенным). Обозначим число указанных неупорядоченных разбиений множества Х через .

Теорема 3. .

Доказательство. Каждое из неупорядоченных разбиений, рассмотренных при определении величины , можно, нумеруя блоки этого разбиения, привести способами к упорядоченным разбиениям вида

, …, , , …, , …, , …, ,

где , ,…, .

При этом объединение получаемых таким образом попарно непересекающихся множеств является совокупностью всех возможных разбиений множества Х. Следовательно, по правилу суммы, используя теорему 1, получим:

(где суммирование производится по всем рассматриваемым неупорядоченным разбиениям), откуда и следует справедливость доказываемого утверждения.

Пример 4.

Сколькими способами из группы в 25 человек можно сформировать 5 коалиций по 5 человек?

Пусть Х – множество людей в группе, – число коалиций по i человек, где i =1, 2, …, 25. Тогда из условия задачи следует, что , , а для других i , и, таким образом, искомое число равно .