Вопросы для повторения

1.Что называется соответствием?

2.В каком случае соответствие является взаимноодназначным?

3.Что представляет собой гомоморфизм?

4.В чем заключается отличие гомоморфизма и изоморфизма?

5.Дайте определение операции?

6.Каким образом связаны между собой функция и отображение?

7.Перечислите способы задания функции?

8.О чем говорится в теореме Кантора?

9.В каком случае множество называется счетным?

10.Что называется образом и прообразом?

11.Дайте определение мощности множества?

12.Каким образом с помощью взаимнооднозначхых соответствий можно определить мощность множества?

Резюме по теме

В данной теме рассмотрены понятия соответствие, функция, операция, алгебра, гомоморфизм и так далее. Рассмотрены взаимнооднозначные и не взаимнооднозначные соответствия, а так же понятия алгебры, модели и алгебраической структуры. Дано определение гомоморфизма алгебры и показано в каком случае алгебра может стать изоморфной, то есть обладать свойством изоморфизма.

Глава 2. Математическая логика

Математическая логика (теоретическая логика, символическая логика) — раздел математики, изучающий доказательства и вопросы оснований математики. Согласно определению П. С. Порецкого, математическая логика есть логика по предмету, математика по методу. Согласно определению Н.И. Кондакова, математическая логика – вторая, после традиционной логики, ступень в развитии формальной логики, применяющая математические методы и специальный аппарат символов и исследующая мышление с помощью исчислений (формализованных языков). Это определение соответствует определению С.К.Клини: математическая логика – это логика, развиваемая с помощью математических методов. Так же А.А.Марков определяет современную логику «точной наукой, применяющей математические методы». Все эти определения не противоречат, но дополняют друг друга.

Применение в логике математических методов становится возможным тогда, когда суждения формулируются на некотором точном языке. Такие точные языки имеют две стороны: синтаксис и семантику. Синтаксисом называется совокупность правил построения объектов языка (обычно называемых формулами). Семантикой называется совокупность соглашений, описывающих наше понимание формул (или некоторых из них) и позволяющих считать одни формулы верными, а другие — нет.

Важную роль в математической логике играют понятия дедуктивной теории и исчисления. Исчислением называется совокупность правил вывода, позволяющих считать некоторые формулы выводимыми.

Отношение исчислений к семантике выражается понятиями семантической пригодности и семантической полноты исчисления. Исчисление «А» называется семантически пригодным для языка «В», если любая выводимая в «А» формула языка «В» является верной. Аналогично, исчисление «А» называется семантически полным в языке «В», если любая верная формула языка «В» выводима в «А».

Стоит отметить, что на практике множество элементарных логических операций является обязательной частью набора инструкций всех современных микропроцессоров и соответственно входит в языки программирования. Это является одним из важнейших практических приложений методов математической логики.

Логические представления - описание исследуемой системы, процесса, явления в виде совокупности сложных высказываний, составленных из простых (элементарных) высказываний и логических связок между ними.