3. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины
Начнём сразу с двух определений.
Определение. Дисперсией случайной величины называется величина:
.
Дисперсия говорит о среднем квадрате отклонения от среднего.
Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется величина:
.
Среднее квадратическое отклонение говорит о среднем отклонении от среднего.
Для дискретной случайной величины дисперсия (естественно) имеет вид:
.
Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения вероятностей дисперсия имеет вид:
.
Замечание.
Полезно знать, что для нормально
распределенной случайной величины
(напомним, что её плотность распределения
вероятностей имеет вид
)
математическое ожидание
равно
,
а среднее квадратическое отклонение
равно
,
т.е. величинам, входящим в определение
самого закона.
______________
Пример. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины , заданной следующим законом распределения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Сначала найдём математическое ожидание случайной величины :
.
Теперь настала очередь дисперсии:
и среднего квадратического отклонения:
.
______________
Пример.
Найти дисперсию
и среднее квадратическое отклонение
равномерно распределённой на отрезке
случайной величины
.
Решение.
Поскольку математическое ожидание этой
случайной
величины
мы нашли ранее
,
а её плотность распределения вероятностей
имеет вид:
,
то дисперсия её считается следующим образом:
.
Отсюда среднее квадратическое отклонение для случайной величины равно:
.
4. Свойства дисперсии
Свойство . Дисперсия постоянной величины равна нулю
.
Доказательство.
Действительно,
пусть случайная величина
равна
с вероятность
.
Поскольку тогда
,
то по определению дисперсии:
.
Что и требовалось доказать.
Свойство . Постоянный множитель можно вносить за знак математического ожидания, но в квадрате
,
где
.
Доказательство. Используя определение дисперсии и свойство математического ожидания, получим:
.
Что и требовалось доказать.
Свойство . Дисперсия равна математическому ожиданию квадрата минус квадрат математического ожидания
.
Доказательство. Используя определение дисперсии и свойство математического ожидания, получим:
.
Поскольку математическое ожидание – суть константа, то по свойству , а затем по свойству математического ожидания, приходим к следующему:
.
Теперь, приводя подобные, получаем:
Что и требовалось доказать.
Свойство . Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
,
если
и
- независимы.
Без доказательства (для заинтересовавшихся студентов это доказательство – повод повысить итоговую оценку).
Свойство
.
Дисперсия
случайной величины ограничивает
вероятность ее отклонение от своего
математического ожидания (неравенство
Чебышева П.Л.:
.
Без доказательства.
__________________
Пример.
При ракетной стрельбе в «заданный район»
среднеквадратическое отклонение от
цели имеет значение
.
Оценить радиус круга безопасности, где
с вероятностью не мене
ракеты не ложатся?
Решение. Пусть - координата точки падения по дальности. Тогда вероятность выхода за -зону ограничена (по неравенству Чебышева) следующим:
,
но она должна быть не больше . Это будет выполнено, если
,
т.
е. при
.
Заметим: если предположить, что дальность распределена по нормальному закону, то:
,
а
значит
,
или при
.
Как видим, знание закона распределения
существенно уточняет круг безопасности!
__________________
Таким образом, мы ввели и узнали свойства основных числовых характеристик случайной величины.
Рис.
8.1. Геометрическая иллюстрация понятий
математического ожидания
,
моды
и дисперсии
случайной величины.
На рис. 8.1 показано,
что математическое ожидание
характеризует центр распределения.
Среднее ожидаемое значение величины,
которое в общем случае асимметрии не
совпадает с наиболее вероятным значением
величины, характеризуется ее модой
.
Геометрически
оно изображается как координата центра
тяжести фигуры, образованной осью
и линией функции
.
Дисперсия
и
характеризуют
средний ожидаемый разброс (широту)
значений величины возле математического
ожидания.