37. Першая квадратычная форма параметрызава-най паверхні. Запіс першай квадратычнай формы ва унутраных каардынатах. Дыскрымінант першай ква-дратычнай формы.

Няхай галоўная парам. паверхня. – нейкі яе фіксаваны пункт, - нейкі блізкі да п. Р пункт паверхні .

- прырашчэнне вектар-функцыі у п. Р, якое адпавядае прырашчэню яе аргументаў.

З аналізу вядома, што мае месца …, дзе – лінейная адносна частка ліненага прырашчэн-ня адпаведна … у п. (дыферэнцыал), а промнямі абазн нелінейная частка адносна , .

Паколькі утвараюць базіс датычнай плоскасці Т паверхні у п. Р, таму вектар ляжыць у гэтай плоскасці Т. Будзем гаварыць, што пара задае напрамак у п. Р па паверхні маючы на ўвазе напрамак вектара у гэтым пункце.

Першай квадратнай формай параметрызаванай плос-касці у яе п. наз. велічыня . Яе наз. таксама Рыманавай матрыцай ці асноўнай, ці фунда-ментальнай квадратнай формай. Велічыня наз. лінейным элементам у п. у напрамку , відавочна, лінейны элемент прыблізна роўны ці, тое ж самае, адлегласці паміж пунктамі і і набліжаным больш дакладна, чым Р бліжэй да Q.

Улічваючы напрамак , , маем:

Форма есць сіметрычная дадатна вызначаная ква-дратная форма адносна . Дадатна вызначаная таму, што, калі .

Запіс у класічных каардынатах:

Заўвага: У фіксаваным п. форма - г. зн. функцыя двух пераменных і .

Калі – адвольны пункт паверхні, тады , г.зн. у п. Р форма есць функцыя чатырох пераменных.

Дыскрымінант формы - гэта велічыня .

Прадставім яе ў другім выглядзе

Лема:

Вынік: У кожным пункце гладкай параметрых паверхні

38. Вылічэне даўжыні дугі крывой на паверхні.

Няхай - гладкая элем. параметрыз. паверхня, - гладкая элементарная крывая на ей і , яе гладкія дапушчальныя параметрызаваныя раўнанні ва ўнутраных каардынатах

Калі пункты пункты на крывой , тады даўжыня дугі : далей маем:

39. Вылічэнне вугла паміж крывымі на паверхні.

Няхай - гладкія крывыя на гладкай элементарнай паверхні , якія перасякаюцца ў яе пункце Р, вугал паміж імі можна знайсці з дапамогай формулы: , дзе і абазнач. адпаведна дыфферэнцыялы вектар-функцыі у напрамках крывых адпаведна ў п. Р.

На самой справе, калі напрамак крывой у п. Р, г. зн. напрамак вектара , тады вектар будзе кіроўным вектарам датычнай прамой да п. Р , .

Аналагічна - гэта кіроўны вектар датычнай прамой крывой у п. Р . перапішам формулу (1) па іншаму: , дзе – каэфіцыенты формулы (1) вылічаныя у п. перасячэння крывых і , - дыфферэнцыялы ўнутраных каардынат у п. у напрамку крывой , - дыфферэнцыялы унутраных каардынат у п. у напрамку крывой .

Вынік: Калі – каардынатная лінія, а - каардынатная лінія , тады ўздоўж , а , а ўздоўж крывой . Выкарыстоўваем вугал паміж каардынатнымі лініямі па формуле (2) будзем мець: . Вугал паміж каардынатнымі лініямі влічваецца па формуле

Сцверджанне: Вугал паміж каардынатнымі лініямі ў пункце паверхні (у кожным пункце паверхні) прамы т. і т. т., калі ў гэтым пункце .

Сетка каардынатных ліній, вугал паміж адвольнымі двума з якіх у кожным пункце наз. артаганальным.