11. Нармаль плоскай крывой. Нармальная плос-касць прасторавай крывой. Вугал паміж крывымі.

Нармаллю крывой у яе пункце называецца прамая, якая праходзіць праз гэты пункт, перпендыкулярна датычнай прамой да гэтай крывой у гэтым пункце. Абазначаецца праз N.

Сцверджанне1: Усякая гладкая плоска крывая ў кожным сваім пункце мае адзіную нармаль. Кіроўны вектар ёсць нармальны вектар датычнай прамой у пункце P.

Сцверджанне2: Калі плоская крывая зададзена неяўна і пры гэтым непарыўны і адрозніваецца ад у яе пункце, тады вектар з’яўляецца кіроўным вектарам нармалі ці, што таксама нармальным вектарам датычнай прамой да крывой у пункце .

Доказ: Выбярэм некаторую параметрызацыю крывой . Тады ўздоўж будзем мець тоеснасць . Дыфферэнцыруя па гэтая роўнасць , , , .

Нармальная плоскасць прасторавай крывой у пункце – плоскасць, якая проходзіць праз гэты пункт і перпендыкулянры датычнай прамой да крывой праведзенай у гэтым пункце.

Сцверджанне1: Калі прасторавая крывая зададзеная няяўнымі раўнаннямі , прычым вектар , і арозніваюцца ад уздоўж , тады будзе нармальным вектарам нармальнай плоскасці ці кіроўны вектар датычнай прамой Т у адпаведным пункце .

Вугал паміж крывымі і у пункце іх перасячэнная Р называецца любы з двух змежных вуглой ці паміж іх датычнымі прамымі Т₁ і Т₂ адпаведна праведзены у пункце Р. Гэты вугал можна знайсці па формуле , дзе - параметрызацыя , - параметрызацыя , , - параметры . Нармальнай плоскасцю прасторавай крывой у яе пункце Р наз. плоскасць, якая праходзіць праз пункт Р артаганальна датычнай прамой Т крывой у гэтым пункце. У пункце Р можна правесці бясконцую колькасць нармалей да прасторавай крывой , усе яны ляжаць у нармальнай плоскасці .

12. Даўжыня дугі крывой. Формулы для вылічэння даўжыні дугі.

Даўжыней дугі А₁А₂ гладкай крывой называецца лік , , дзе - адвольная дапушчальная параметрызацыя, .

Заўвага: Азначэнне карэктна ў тым сэнсе, што не залежыць ад выбару дапушчальнага параметра. На самой справе , гэта значыць . Дыфферэнцыруя па будзем мець , , , , .

Спецыяльныя формулы для вылічэння даўжыні дугі:

(1) ,

(1).

(2)

(2).

(3) . Выкарыстоўваючы папярэднюю формулу будзем мець

(3).

15. Суправаджальны трохграннік. Кананічны базіс.

Няхай - бірэгулярная прасторавая крывая, , Т – датычная, - нармальная плоскасць, якія праходзяць праз пункт Р. праз пункт Р праходзіць бясконцае мноства нармаляў крывой , якія ляжаць у плоскасці . Выдзелім з іх дзве асобныя: нармаль, якая праходзіць у сутыкальнай плоскасці называецца асобнай. Абазначаецца N. Нармаль препендыкулярна сутыкальнай плоскасці называецца бінармальнай. Абазначаецца B. Плоскасць, якая праходзіць праз датычную прамую Т і бінармальн В называецца выпрастоўнай (спрямляющей).

Суправаджальным трохграннікам прасторовай крывой у яе пункце Р называецца трохгранны вугал з вяршынай ў пункце Р і промымі плоскімі вугламі пры ім, канты якога ляжаць на датычнай Т, а грані ў сутыкальнай плоскасці , нармаль плоскасці і выпрастоўнай плоскасці .

Сцверджанне: кожная бірэгулярная крывая ў кожным сваім пукце мае суправаджальны трохграннік і пры тым толькі адзін.

Правая тройка вектароў , дзе – орт датычнай Т, - орт галоўнай нармалі N, - орт бінармалі В, называецца кананічным базісам крывой (у пункце Р).

Чацверка , дзе адкладзены ад пункта Р крывой называецца кананічным рэперам. Ведаючы кананічны рэпер легка знайсці ўсе элементы суправаджальнага трохгранніка.

Існуюць залежнасці: .

Узнікае пытанне: як знайсці вектары ведаючы параметрызацыю крывой . Магчымы два выпадкі:

1. Крывая зададзена натуральнай параметрызацыяй , .

Першая формула вынікае з таго, што кіроўны вектар датычнай прамой Т, і акрамя таго , паколькі - натуральная параметрызацыя. Другая формула выконваецца таму, што па-першае , па-другое (паколькі ).

2. – заданне крывой , наступныя вектары з’яўляюцца, відавочна, кіроўнымі вектарамі Т, В, N адпаведна: , - кіроўны вектар бінармалі В, - кіроўны вектар галоўнай нармалі N у пункце Р(t) (з параметрам t). Нармуючы гэтыя вектары знойдзем вектары кананічнага базісу у кожным адпаведным пункце: ,