§ 4.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа

При большом числе испытаний вероятности наступления события А в каждом испытании р, отличной от 0 и 1, и при выполнении условия , вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит ровно m раз, определяется соответствии с локальной теоремой Муавра — Лапласа:

(1.25)

где n — число испытаний Бернулли;

m — число испытаний, в которых наступило событие А;

р=Р(А) — вероятность наступления события А в каждом испытании;

q=1-р — вероятность противоположного события ( );

— функция Гаусса (табл. 7 Приложений).

Функция Гаусса представляет собой плотность стандартного нормального закона распределения и будет рассмотрена более подробно в гл. 7 «Нормальный закон распределения». Здесь отметим только ее основные свойства, необходимые для применения рассматриваемой теоремы.

Функций гаусса:

1. – четная функция, т. е.

2. – монотонно убывающая функция, т. е. при при можно считать

§ 4.3. Интегральная теорема Муавра – Лапласа

При большом числе испытаний вероятности наступления события А в каждом испытании р, отличной от 0 и 1, и при выполнении условия , вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит от а до b раз, определяется соответствии с интегральной теоремой Муавра — Лапласа:

(1.26)

где n – число испытаний Бернулли;

m – число испытаний, в которых наступило событие А;

р=Р(А) – вероятность наступления события А в каждом испытании;

q=1-р – вероятность противоположного события ( );

– функция Лапласа (табл. 1 Приложений).

Функция Лапласа Ф(t) представляет собой функцию стандартного нормального закона распределения и будет рассмотрена более подробно теме «Нормальный закон распределения» (гл. 7).

Здесь отметим только ее основные свойства, необходимые для применения рассматриваемой теоремы.

Функция Лапласа:

1. Ф(t) — нечетная функция, т. е. Ф(-t)=-Ф(t)/

2. Ф(t) — монотонно возрастающая функция, т. е. Ф(t)→1 при t→+ ; при t>5 можно считать Ф(t) 1.

Задачи, приводящие к интегральной теореме Муавра – Лапласа.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события А равна р:

а) вероятность того, что частота наступления (частость) события А отклонится от вероятности p (по модулю) не более, чем на величину :

; (1.27)

б) наименьшее число испытаний, которое нужно провести, чтобы с вероятностью, равной р, можно было гарантировать, что частота наступления события А отклонится от вероятности/? не более, чем на :

; (1.28)

в) при данной вероятности и числе испытаний n границы возможных изменений отклонения частоты наступления события А от вероятности р:

; (1.29)

г) вероятность того, что m наступлений события А отличается от произведения nр (по модулю) не более, чем на величину :

(1.30)

и ли в других обозначениях: .

Пример 4.2. Вероятность своевременного выполнения заказа цехами службы быта равна 0,75. Найти вероятность того, что из 160 заказов своевременно выполнят:

а) 120;

б) не менее 110.

Решение.

Проводится 160 независимых испытаний, состоящих в проверке выполнения заказа цехами службы быта. Для каждого из 160 заказов вероятность события А - заказ выполнен - по условию постоянна:

В задаче число испытаний n=160, р=0,75, npq=160*0,75*0,25=30 20.

А. Требуется определить вероятность того, что из 160 заказов своевременно выполнят 120, т. е. вероятность

Так как испытания удовлетворяют условиям схемы Бернулли, n велико, р отлична от 0 и 1, npq 20, то эту вероятность можно определить в соответствии с локальной теоремой Муавра – Лапласа (1.25):

, где .

Получим , откуда, по табл. 7 плотности вероятности нормированного нормального закона распределения, находим f(0)=0,3989.

В результате искомая вероятность того, что из 160 заказов своевременно будет выполнено ровно 120:

Б. Требуется определить вероятность того, что из 160 заказов своевременно выполнят не менее 110, т. е. вероятность .

Так как испытания удовлетворяют условиям схемы Бернулли, n велико, р отлична от 0 и 1, npq 20, то эту вероятность можно определить в соответствии с интегральной теоремой Муавра – Лапласа (1.26):

где

Получим

откуда по табл. 1 Приложений значений функции Лапласа нормированного нормального закона распределения, находим:

Ф(-1,83)=-Ф(1,83)=-0,9327, Ф(7,3)=1.

В результате искомая вероятность того, что не менее 110 из 160 заказов будут выполнены своевременно равна:

Пример 4.3. При обработке линз в среднем 3 из 100 имеют брак. Сколько линз следует обработать, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать, что отклонение доли брака от его вероятности не превысит 0,01 (по абсолютной величине)?

Решение.

Проводятся независимые испытания, состоящие в проверке брака обработки линз. Для каждой линзы вероятность события А – линза обработана с браком – по условию постоянна и равна:

В задаче надежность =0,95, отклонение =0,01.

Требуется определить число линз п, которые необходимо обработать. Так как испытания удовлетворяют условиям схемы Бернулли, то количество линз можно определить в соответствии со вторым следствием интегральной теоремы Муавра –Лапласа (1.28):

По табл. 1 Приложений значений функции нормированного нормального закона распределения, находим откуда

С ледовательно, нужно обработать n=1118 линз, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что отклонение доли появления бракованной линзы от вероятности быть бракованной (равной 0,03) не превысит 0,01 (по абсолютной величине).