- •Глава IX. Неопределенный интеграл
- •§ 1. Непосредственное интегрирование. Замена переменной и интегрирование по частям
- •1352. Найти интеграл
- •1353. Найти интеграл .
- •1354. Найти интеграл
- •1355. Найти интеграл .
- •1356. Найти интеграл
- •1357. Найти интеграл
- •§ 2. Интегрирование рациональных дробей
- •1403. Найти интеграл
- •1404. Найти интеграл
- •1405. Найти интеграл
- •1406. Найти интеграл
- •1407. Найти интеграл
- •1408. Найти интеграл
- •1409. Найти интеграл
- •1419. Найти интеграл .
- •1420. Найти интеграл
- •1421. Найти интеграл
- •1422. Найти интеграл .
- •1423. Найти интеграл
- •1424. Найти интеграл
- •1425. Найти интеграл
- •1426. Найти интеграл .
- •1427. Найти интеграл
- •1441. Найти интеграл
- •§ 3. Интегрирование простейших иррациональных функций
- •5. Интегралы вида
- •1452. Найти интеграл
- •1463. Найти интеграл
- •1464. Найти интеграл
- •1465. Найти интеграл
1441. Найти интеграл
Решение: положим =t; тогда dx=dt, dx=dt/t, откуда
так как , то разложение простейшей дроби имеет вид
освобождаясь от знаменателей получим
если t=0, то 1=-3А, т.е. А=-1/3, если же t=-t, то 2=4В, т.е. В=1/2, наконец, если t=3, то 31=12С, т.е. С=31/12
Итак,
и значит
▲
Найти интегралы:
1442.
1443.
§ 3. Интегрирование простейших иррациональных функций
1. Интегралы вида где R — рациональная функция; m1, n1, m2, n2, ...—целые числа. С помощью подстановки ax+b = ts, где s — наименьшее общее кратное чисел n1, n2..., указанный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции.
1444. Найти интеграл
Решение. Здесь n1 = 3, n2= 2; поэтому s = 6. Применим подстановку 2x+1=t6, тогда x = (t6—l)/2, dx — Sfldt и, следовательно,
Возвращаемся к старой переменной. Так как t = (2x+1)1/6, то
▲
2. Интегралы вида Такие интегралы путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена приводятся к табличным интегралам XX или XXI.
1445. Найти интеграл
Решение.
Преобразуем квадратный трехчлен к виду . Тогда
▲
1446. Найти интеграл
Решение.
Имеем
▲
3. Интегралы вида Для нахождения этого интеграла выделим в числителе производную квадратного трехчлена стоящего под знаком корня, и разложим интеграл на сумму двух интегралов:
Первый из полученных интегралов есть табличный интеграл XVII, а второй рассмотрен в п. 2. § 3.
1447. Найти интеграл
Решение.
Выделим в числителе производную подкоренного выражения:
▲
1448. Найти интеграл .
Решение.
Имеем
▲
4. Интегралы вида С помощью подстановки x-α=1/t этот интеграл приводится к рассмотренному в п. 2.
1449. Найти интеграл
Решение.
Положим x=1/t, тогда dx = — (1/t2) dt и
▲
1450. Найти интеграл
Решение.
Полагаем x-1 =1/t, тогда x= 1/t+1 и dx = —(1/t2) dt. Следовательно,
▲
1451. Найти интеграл
Решение.
Записав числитель подынтегральной функции в виде 3x+2 = 3(x+1) —1, получим
Представим данный интеграл как разность двух интегралов:
К первому интегралу применим формулу XXI, а ко второму —подстановку x+1=1/t:
▲
5. Интегралы вида
где Рn (х) — многочлен n-й степени. Интеграл такого вида находится с помощью тождества:
где Qn-1 (x) —многочлен (n —1)-й степени с неопределенными коэффициентами, λ — число.
Дифференцируя указанное тождество и приводя результат к общему знаменателю, получим равенство двух многочленов, из которого можно определить коэффициенты многочлена Qn-1 (x) и число λ..
1452. Найти интеграл
Решение.
Здесь n = 3, поэтому соответствующее тождество имеет вид
Дифференцируя обе его части, получаем
Освобождаемся от знаменателя:
или
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим
.
Решая систему, найдем b0=1/3, b1=l/6, b2 = 7/6, λ = 5/2. Следовательно,
▲
Найти интегралы:
1453. 1454.
1455. 1456.
1457. 1458.
1459. 1460.
1461. 1462. .
6. Интегралы от дифференциальных биномов , где m, n, p — рациональные числа. Как доказал П. Л. Чебышев, интегралы от дифференциальных биномов выражаются через элементарные функции только в трех случаях:
1) р —целое число, тогда данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки x = ts, где s — наименьшее общее кратное знаменателей дробей т и п,
2) (т +1)/п — целое число; в этом случае данный интеграл рационализируется с помощью подстановки a + bxn = ts;
3) (m+l)/n+p —целое число; в этом случае к той же цели ведет подстановка ах-n+b= ts, где s — знаменатель дроби р.